Determine se cada conjunto abaixo é uma base de sobre .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base para o espaço sobre os números reais. A gente vai precisar entender o que é uma base, o que significa os vetores serem linearmente independentes e como isso garante que eles “geram” todo o espaço . Vamos seguir passo a passo para descobrir se esses vetores realmente formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , precisamos de três vetores que não estão todos no mesmo plano e que conseguem chegar a qualquer ponto no espaço combinando eles de diferentes maneiras.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz com os vetores dados:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 times 9 times 4 + 2 times 3 times (-1) + 0 times 4 times 1 - 0 times 9 times (-1) - 2 times 4 times 4 - 1 times 3 times 1
Calculando cada termo:
1 times 9 times 4 = 36
2 times 3 times (-1) = -6
0 times 4 times 1 = 0
0 times 9 times (-1) = 0
2 times 4 times 4 = 32
1 times 3 times 1 = 3
Então:
det(A) = 36 - 6 + 0 - 0 - 32 - 3 = -5
Passo 5
O determinante calculado foi -5, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes. Como temos três vetores em R^3 e eles são independentes, isso também garante que eles geram todo o espaço R^3.
Resposta
Sim, o conjunto (1,4,-1),(2,9,1),(0,3,4) é uma base de V = R^3 sobre R.