Determine se cada conjunto abaixo é uma base de V=R^3 sobre R.
(1,4,-1),(2,9,1),(0,3,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores (1,4,-1),(2,9,1),(0,3,4) forma uma base para o espaço V = R^3 sobre os números reais. A gente vai precisar entender o que é uma base, o que significa os vetores serem linearmente independentes e como isso garante que eles “geram” todo o espaço R^3. Vamos seguir passo a passo para descobrir se esses vetores realmente formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de R^3, precisamos de três vetores que não estão todos no mesmo plano e que conseguem chegar a qualquer ponto no espaço combinando eles de diferentes maneiras.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz A com os vetores dados:
A = 1 & 2 & 0 4 & 9 & 3 -1 & 1 & 4

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 times 9 times 4 + 2 times 3 times (-1) + 0 times 4 times 1 - 0 times 9 times (-1) - 2 times 4 times 4 - 1 times 3 times 1
Calculando cada termo:
  • 1 times 9 times 4 = 36
  • 2 times 3 times (-1) = -6
  • 0 times 4 times 1 = 0
  • 0 times 9 times (-1) = 0
  • 2 times 4 times 4 = 32
  • 1 times 3 times 1 = 3
Então:
det(A) = 36 - 6 + 0 - 0 - 32 - 3 = -5

Passo 5

O determinante calculado foi -5, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes. Como temos três vetores em R^3 e eles são independentes, isso também garante que eles geram todo o espaço R^3.

Resposta

Sim, o conjunto (1,4,-1),(2,9,1),(0,3,4) é uma base de V = R^3 sobre R.

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