Verifique que cada conjunto abaixo não é base do espaço vetorial real indicado.
B=(-1,3,2),(0,1,4) em V=R^3
Dicas: No item b), mostre que se um vetor (x, y, z) in R^3 é combinação linear de (-1,3,2) e (0,1,4), então a igualdade 10 x+4 y-z=0 deve ser satisfeita, ou seja, (x, y, z) deve estar sobre o plano de equação 10 x+4 y-z=0. Para isso, monte um sistema linear, escalone a matriz ampliada e observe a condição para que o sistema seja possível.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
B=(-1,3,2),(0,1,4)
não é base de V=R^3.
Para ser base em R^3, um conjunto de vetores deve ser linearmente independente e gerar todo R^3.
Nossa estratégia será mostrar que o span de B é um plano próprio de R^3, logo não gera o espaço todo.

Passo 2

Considere um vetor genérico (x,y,z)inR^3. Queremos saber para quais (x,y,z) existem escalares alpha,beta tais que
alpha(-1,3,2)+beta(0,1,4)=(x,y,z)
Isso gera o sistema linear
-,alpha + 0cdotbeta = x, 3,alpha + 1cdotbeta = y, 2,alpha + 4cdotbeta = z

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e escalonamos por operações de linha. Inicialmente,
-1 & 0 & x 3 & 1 & y 2 & 4 & z
Aplicando R2 R2+3,R1 e R3 R3+2,R1, vem
-1 & 0 & x 0 & 1 & y+3x 0 & 4 & z+2x
Em seguida, R3 R3-4,R2
-1 & 0 & x 0 & 1 & y+3x 0 & 0 & z+2x-4(y+3x) = -1 & 0 & x 0 & 1 & y+3x 0 & 0 & -10x-4y+z

Passo 4

Para que o sistema seja possível é preciso que o elemento no pivô da terceira linha seja zero, ou seja,
-10x-4y+z=0 Long<=ftrightarrow 10x+4y-z=0
Isso mostra que qualquer combinação linear de (-1,3,2) e (0,1,4) produz vetores (x,y,z) sobre o plano de equação
10x+4y-z=0
Portanto o span de B é estritamente esse plano, não todo R^3.

Resposta

B não é base de R^3 porque não gera todo o espaço:
Span(B)=(x,y,z)inR^3mid 10x+4y-z=0neqR^3

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