Calcule o determinante (valor: 1,5 ponto)
|cccc 1 & 1 & 2 & -2 3 & 0 & 2 & 3 6 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 |

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 1 & 1 & 2 & -2 [6pt] 3 & 0 & 2 & 3 [6pt] 6 & 2 & 1 & 0 [6pt] 2 & 1 & 1 & -2
O conteúdo aqui é determinante de matriz 4times4. Vamos usar operações de linha para triangularizar sem alterar o determinante e depois expandir por cofatores.]

Passo 2

Zeramos abaixo de a11=1 usando operações elementares:
R2 R2 - 3R1, R3 R3 - 6R1, R4 R4 - 2R1
Isso produz a matriz
1 & 1 & 2 & -2 [4pt] 0 & -3 & -4 & 9 [4pt] 0 & -4 & -11 & 12 [4pt] 0 & -1 & -3 & 2 ,
cujo determinante é o mesmo de A.]

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira coluna, só resta o cofator de a11=1. Assim,
det(A) = 1 ,cdot, det -3 & -4 & 9 [4pt] -4 & -11 & 12 [4pt] -1 & -3 & 2
Chame essa submatriz de B. Vamos calcular det(B).]

Passo 4

Usando a regra de cofatores na primeira linha de B:
det(B) = -3det!-11 & 12 [4pt] -3 & 2 -(-4)det!-4 & 12 [4pt] -1 & 2 +9det!-4 & -11 [4pt] -1 & -3
Calculando cada menor:
det!-11 & 12 -3 & 2 = (-11)cdot2 - 12cdot(-3) = -22 + 36 = 14,
det!-4 & 12 -1 & 2 = (-4)cdot2 - 12cdot(-1) = -8 + 12 = 4,
det!-4 & -11 -1 & -3 = (-4)cdot(-3) - (-11)cdot(-1) = 12 - 11 = 1
Substituindo,
det(B) = -3cdot14 + 4cdot4 + 9cdot1 = -42 + 16 + 9 = -17
Portanto det(A) = -17.]

Resposta

-17

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