Em que condições sobre as constantes k e l o sistema
r x-2 y+4 z=l 2 x-3 y+5 z=k 3 x-4 y+6 z=1
tem uma única solução? Não tem solução? Tem infinitas soluções? (valor: 1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetros
O conteúdo é análise de sistema pela matriz dos coeficientes (A] e seu posto (rank), usando determinante para verificar invertibilidade e, se singular, condição de consistência para obter posto do sistema.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A= 1 & -2 & 4 2 & -3 & 5 3 & -4 & 6
e calculamos det A por expansão:
det A = 1 & -2 & 4 2 & -3 & 5 3 & -4 & 6 =1cdot-3&5-4&6 -(-2)cdot2&53&6 +4cdot2&-33&-4
Calculando cada menor:
-3&5-4&6=-18+20=2, 2&53&6=12-15=-3,
2&-33&-4=-8+9=1
Logo
det A=1cdot2-(-2)cdot(-3)+4cdot1=2-6+4=0

Passo 3

Como det A=0, o sistema nunca tem solução única (a matriz dos coeficientes é singular). Devemos então analisar a compatibilidade pelo posto (rank) de A e da matriz ampliada.

Passo 4

Observamos que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras:
2cdot(2x-3y+5z) -;(x-2y+4z) ;=;(4x-6y+10z)-(x-2y+4z) =3x-4y+6z,
portanto a mesma combinação deve valer para os termos independentes:
2cdot k - l stackrel?= 1
Isto define a condição de consistência. O posto de A é 2 (duas linhas independentes) e o posto da ampliada será 2 se e só se 2k-l=1, caso contrário será 3.

Passo 5

  • Se 2k-l=1, então o posto da ampliada é igual a 2 (mesmo posto de A), e o sistema tem infinitas soluções.
  • Se 2k-lneq1, então o posto da ampliada é 3 (> 2), e o sistema é incompatível (não tem solução).

Resposta

O sistema
  • nunca tem solução única.
  • tem infinitas soluções se e somente se
l=2k-1
  • não tem solução se e somente se
lneq2k-1

Exercícios relacionados