Calcule os determinantes.
l |llll 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 4 & 2 & 1 & 0 8 & 4 & 2 & 1 |, |lllll 0 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 4 0 & 5 & 0 & 0 & 0 | rvert, |cccc 2 & 3 & 3 & 1 0 & 4 & 3 & -3 2 & -1 & -1 & -3 0 & -4 & -3 & -2 ||ccc 3 & -2 & 5 0 & 5 & 17 0 & -4 & 12 |,

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro determinantes de matrizes:
  1. Uma matriz 4times4 triangular inferior com todos 1 na diagonal.
  2. Uma matriz 5times5 em que há exatamente um elemento não-nulo em cada linha e em cada coluna.
  3. Outra matriz 4times4 genérica.
  4. Uma matriz 3times3 quase triangular.
    Vamos usar as propriedades de determinante de matrizes triangulares, de matrizes de permutação e eliminação de Gauss.

Passo 2

Para a primeira matriz
A= 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 4 & 2 & 1 & 0 8 & 4 & 2 & 1 ,
como ela é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A)=1cdot1cdot1cdot1=1

Passo 3

Na segunda matriz
B= 0 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 4 0 & 5 & 0 & 0 & 0 ,
há exatamente um elemento não-nulo em cada linha e coluna, de modo que B é essencialmente uma matriz de permutação escalada. Identificando a permutação
pi=(1,3,4,5,2), que é um ciclo de comprimento 5 com sinal +, o determinante é o produto dos elementos não-nulos vezes o sinal:
det(B)=1cdot2cdot3cdot4cdot5=120

Passo 4

Para a terceira matriz
C= 2 & 3 & 3 & 1 0 & 4 & 3 & -3 2 & -1 & -1 & -3 0 & -4 & -3 & -2 ,
fazemos eliminação de Gauss sem trocar linhas (para não mudar o sinal):
subtraímos a linha 1 da linha 3, obtendo zeros na primeira coluna abaixo de 2. Então expandimos pelo primeiro elemento:
det(C)=2cdot det 4 & 3 & -3 -4 & -4 & -4 -4 & -3 & -2
Calculando esse 3times3 por regra de Sarrus ou expansão, obtemos
det(cdots)=20,
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det(C)=2cdot20=40.

Passo 5

Na quarta matriz
D= 3 & -2 & 5 0 & 5 & 17 0 & -4 & 12 ,
expansão pela primeira coluna dá
det(D)=3cdotdet5 & 17-4 & 12 =3l(5cdot12-17cdot(-4)r) =3(60+68) =3cdot128 =384

Resposta

(a) 1
(b) 120
(c) 40
(d) 384

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