Calcule a inversa da
(lll 1 & 5 & 1 2 & 5 & 0 2 & 7 & 1 )

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a inversa da matriz
A = 1 & 5 & 1 2 & 5 & 0 2 & 7 & 1
usando o método de eliminação de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada (Amid I) e aplicar operações elementares até obter (Imid A^-1).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada com a identidade I3:
(Amid I) = (ccc|ccc 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 2 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 7 & 1 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô na primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2 e da linha 3:
L2 L2-2,L1, L3 L3-2,L1
ficando
(ccc|ccc 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & -5 & -2 & -2 & 1 & 0 0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1 )

Passo 4

Normalizamos o pivô da linha 2 dividindo por -5:
L2 1-5,L2 ;Longrightarrow; (0,1,2/5mid 2/5,-1/5,0)
Agora a matriz é
(ccc|ccc 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2/5 & 2/5 & -1/5 & 0 0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1 )

Passo 5

Zeramos as entradas fora do pivô da segunda coluna usando
L1 L1-5,L2, L3 L3+3,L2
O resultado é
(ccc|ccc 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2/5 & 2/5 & -1/5 & 0 0 & 0 & 1/5 & -4/5 & -3/5 & 1 )

Passo 6

Normalizamos o pivô da linha 3 multiplicando por 5:
L3 5,L3 ;Longrightarrow; (0,0,1mid -4,-3,5)
Agora temos
(ccc|ccc 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2/5 & 2/5 & -1/5 & 0 0 & 0 & 1 & -4 & -3 & 5 )

Passo 7

Eliminamos as entradas fora do pivô na terceira coluna:
L1 L1+L3, L2 L2-tfrac25,L3
Isso leva a
(ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -5 & -2 & 5 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & -2 0 & 0 & 1 & -4 & -3 & 5 )

Resposta

A inversa da matriz dada é
A^-1 = -5 & -2 & 5 2 & 1 & -2 -4 & -3 & 5

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