(a) u+v, v+w, u+w é linearmente independente? Ou prove que é ou dê um contraexemplo para mostrar que não é.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer vetores u,v,w, o conjunto
u+v,,v+w,,u+w
é sempre linearmente independente. O conteúdo é independência linear: um conjunto é independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos). Vamos mostrar um contraexemplo em R^2.

Passo 2

Lembre que x1,x2,x3 é linearmente dependente se existem escalares não todos nulos a,b,c tais que
a,x1 + b,x2 + c,x3 = 0
Para dar o contraexemplo, basta escolher u,v,w em R^2 de modo que as três somas vivam em dimensão 2 e acabem sendo dependentes.

Passo 3

Escolha em R^2:
u=(1,0), v=(0,1), w=(1,1)
Então
u+v=(1,1), v+w=(1,2), u+w=(2,1)

Passo 4

Considere a combinação
a(u+v) + b(v+w) + c(u+w) = a(1,1) + b(1,2) + c(2,1)
Somando coordenadas, exige-se
(a+b+2c,;a+2b+c) = (0,0)
Isto gera o sistema
a + b + 2c = 0, a + 2b + c = 0
Subtraindo a segunda da primeira vem b + c = 0, logo c=-b. Substituindo em a + b +2c=0 a - b = 0, ou seja a=b. Logo existem soluções não triviais, por exemplo
(a,b,c) = (1,1,-1),
que não são todas nulas e satisfazem a combinação acima.

Resposta

O conjunto u+v,v+w,u+w não é sempre linearmente independente. O exemplo em R^2 com u=(1,0), v=(0,1), w=(1,1) mostra dependência elétrica, pois
1cdot(u+v) ;+;1cdot(v+w) ;-;1cdot(u+w) = 0

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