(a)
é linearmente independente? Ou prove que é ou dê um contraexemplo para mostrar que não é.
Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer vetores
, o conjunto
é sempre linearmente independente. O conteúdo é independência linear: um conjunto é independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos). Vamos mostrar um contraexemplo em .
é sempre linearmente independente. O conteúdo é independência linear: um conjunto é independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos). Vamos mostrar um contraexemplo em
Passo 2
Lembre que
é linearmente dependente se existem escalares não todos nulos
tais que
Para dar o contraexemplo, basta escolher
em
de modo que as três somas vivam em dimensão 2 e acabem sendo dependentes.
Passo 3
Escolha em
:
Então
Passo 4
Considere a combinação
Somando coordenadas, exige-se
Isto gera o sistema
Subtraindo a segunda da primeira vem
, logo
. Substituindo em
dá
, ou seja
. Logo existem soluções não triviais, por exemplo
que não são todas nulas e satisfazem a combinação acima.
Resposta
O conjunto
não é sempre linearmente independente. O exemplo em
com
,
,
mostra dependência elétrica, pois