Questão 2 (2,0 pontos). Faça o que se pede em cada item:
a) Dê exemplo de um sistema homogêneo com 4 variáveis e 3 equações. Qual é a matriz ampliada desse sistema?
b) Determine se o sistema a abaixo é possível ou impossível e, em caso de sistema possível, determine grau de liberdade. Resolva o sistema pelo método da eliminação de Gauss (Operações elementares) e indique o conjunto solução, se possível. Segue matriz ampliada do sistema:
[rrrr|r -1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 1

A questão trata de sistemas lineares e pede duas coisas:
a) um exemplo de sistema homogêneo com 4 variáveis e 3 equações, e sua matriz ampliada;
b) a classificação (possível ou impossível) e solução, por eliminação de Gauss, de um sistema já dado via matriz ampliada. Vamos usar conceitos de sistema homogêneo, operações elementares em matrizes e análise de posto para grau de liberdade.

Passo 2

Para (a), um sistema homogêneo com 4 variáveis (x1,x2,x3,x4) e 3 equações pode ser, por exemplo:
x1 + 2x2 - x3 + 0,x4 = 0, 2x1 - x2 + x3 + x4 = 0, -,x1 + x2 + 3x3 - 2x4 = 0
A matriz ampliada desse sistema é
[rrrr|r 1 & 2 & -1 & 0 & 0 2 & -1 & 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 3 & -2 & 0 ]

Passo 3

Agora (b), começamos da matriz ampliada
[rrrr|r -1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 & 0 & 0 ]
Fazendo
R2 R2+2,R1 e
R3 R3+3,R1, obtemos
[rrrr|r -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 4 & 0 & 0 ]
Em seguida trocamos R2 com R3 para ter pivô na segunda coluna:
[rrrr|r -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 4

Para zerar acima do pivô da 3ª linha, fazemos
R1 R1-R3 e
R2 R2-4,R3, obtendo
[rrrr|r -1 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 1 ]
Finalmente, multiplica-se R1 por -1:
[rrrr|r 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 1 ]
Não há linha do tipo [0;0;0;0mid c] com cneq0, logo o sistema é possível.

Passo 5

Da forma reduzida vemos
x1 = 1, x2 = -4, x3 = 1,
e x4 não aparece em nenhum pivô, é variável livre. O posto da matriz de coeficientes é 3 e há 4 incógnitas, logo o grau de liberdade é
4 - 3 = 1
Chamando x4 = t, o conjunto solução é
(x1,x2,x3,x4)mid x1=1,;x2=-4,;x3=1,;x4=t,;tinR

Resposta

a) Um exemplo de sistema homogêneo é
x1 + 2x2 - x3 + 0,x4 = 0, 2x1 - x2 + x3 + x4 = 0, -,x1 + x2 + 3x3 - 2x4 = 0,
com matriz ampliada
[rrrr|r 1 & 2 & -1 & 0 & 0 2 & -1 & 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 3 & -2 & 0 ]
b) O sistema dado é possível, tem grau de liberdade 1 e a solução é
(1,,-4,,1,,t)mid tinR

Exercícios relacionados