Questão 3 (3,0 pontos). Assinale V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta.
a) ( ) As seguintes matrizes estão na forma escada.
A=[lllll 0 & 0 & 1 & 3 & pi ], B=[ll 0 & 1 0 & 0 ], C=[cccccc 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 12 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
b) ( ) Seja B a matriz dada no item anterior. Se B a matriz ampliada de um sistema de equações lineares, então este sistema será possível e determinado.
c) ( ) Considere uma matriz A10 times 10 qualquer tal que det(A)=23. Se fizermos as seguintes operações elementares L4 3 L4 ; L3 L3+2 L10 ; L7 (-1) L7 ; L2 rightarrow L8 em A, então obtemos a matriz resultante B cujo determinante é 29.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações a serem julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) verificar se as matrizes A, B e C estão em forma escada;
b) analisar se, sendo B matriz ampliada de um sistema, esse sistema é possível e determinado;
c) usar o fato de det(A)=tfrac23 e aplicar certas operações elementares sobre A para calcular det(B).
Vamos usar definição de forma escada de matrizes, teste de consistência por matriz ampliada e propriedades do determinante sob operações elementares.

Passo 2

Para a afirmação a:
Definição de forma escada:
  1. Qualquer linha de zeros deve estar abaixo de linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) deve estar mais à direita que o pivot da linha acima.
    – Matriz
A=[0;;0;;1;;3;pi]
é um único vetor linha não nulo, logo está em forma escada.
– Matriz
B=0&10&0
tem linha não nula acima de linha de zeros e pivot em coluna 2, está em forma escada.
– Matriz
C= 1&0&1&2&0&-1 0&0&0&12&1&1 0&0&0&0&0&0 0&0&0&0&0&1
possui uma linha de zeros (linha 3) acima de uma linha não nula (linha 4), violando a regra 1.
Portanto a) é Falsa.

Passo 3

Para a afirmação b:
Interpretamos
B=0&10&0
como matriz ampliada de um sistema com uma incógnita x (coluna de coeficientes) e coluna de constantes. A primeira linha dá
0cdot x=1,
que é impossível. Logo o sistema é impossível (não possível nem determinado).
Portanto b) é Falsa.

Passo 4

Para a afirmação c:
Sabemos det(A)=tfrac23. Aplicamos operações em A:
L4to3L4 multiplica o determinante por 3.
L3to L3+2L10 não altera o determinante.
L7to(-1)L7 multiplica por -1.
L2rightarrow L8 troca duas linhas, multiplica por -1.
O fator total é
3 times 1 times (-1)times(-1)=3
Então
det(B)=3cdotdet(A)=3cdot23=2neq29
Portanto c) é Falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) F

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