Qual foi a modificação no valor do determinante quando trocaram-se as linhas da matriz?
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & 4\end{pmatrix}
e, em seguida, verificar o que acontece com o valor do determinante quando trocamos as linhas dessa matriz. O conteúdo envolvido é determinante de matrizes 2\times2 e a propriedade de troca de linhas.]
Passo 2
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\[3pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado por
\det = a\,d - b\,c.
No nosso caso a=1, b=2, c=3, d=4, então
\det(A) = 1\cdot4 \;-\; 2\cdot3 = 4 - 6 = -2.]
Passo 3
Agora trocamos as linhas de A, obtendo
A' = \begin{pmatrix}3 & 4 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Aplicando a mesma fórmula, com a'=3, b'=4, c'=1, d'=2, temos
\det(A') = 3\cdot2 \;-\; 4\cdot1 = 6 - 4 = 2.]
Passo 4
Comparando os valores, o determinante passou de -2 para 2. Ou seja, ao trocar duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal (é multiplicado por -1).
Resposta
O determinante original é -2. Após a troca de linhas, o determinante fica 2, isto é, ocorre a inversão de sinal (multiplicação por -1).