Calcule os determinantes abaixo e observe o que acontece:
a) \left|\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 5 & 3\end{array}\right|
b) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 4 & -2 & 0 \\\\ 7 & 5 & 6\end{array}\right|
A partir dos resultados, o que pode se inferir sobre o determinante de matrizes triangulares (superior ou inferior)?

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de duas matrizes triangulares (uma 2×2 e outra 3×3) e, a partir dos resultados, inferir uma propriedade geral sobre determinantes de matrizes triangulares (superior ou inferior). Vamos usar a definição de determinante para matrizes 2×2 e a expansão por cofactores (ou observar diretamente a diagonal) para matrizes 3×3.

Passo 2

Para a matriz 2×2
\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 5 & 3 \end{pmatrix}
lembre que
\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
Logo,
\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 5&3\end{pmatrix} =2\cdot3 - 0\cdot5 =6.

Passo 3

Para a matriz 3×3
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 4 & -2& 0\\\\ 7 & 5 & 6 \end{pmatrix}
podemos expandir pela primeira linha ou notar que é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero). Pela expansão:
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 4 & -2& 0\\\\ 7 & 5 & 6 \end{pmatrix} =1\cdot\det\begin{pmatrix}-2&0\\\ 5&6\end{pmatrix} -0+0 =1\bigl((-2)\cdot6-0\cdot5\bigr) =-12.

Passo 4

Em ambos os casos o valor do determinante foi exatamente o produto dos elementos da diagonal principal (no 2×2: 2\cdot3; no 3×3: 1\cdot(-2)\cdot6). Isso sugere a propriedade geral:

Resposta

(a) 6
(b) -12
Para qualquer matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, isto é,
\det(A) =\prod_{i=1}^{n}a_{ii}.

Exercícios relacionados