Calcule os determinantes abaixo e observe o que acontece:
a) \left|\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 5 & 3\end{array}\right|
b) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 4 & -2 & 0 \\\\ 7 & 5 & 6\end{array}\right|
A partir dos resultados, o que pode se inferir sobre o determinante de matrizes triangulares (superior ou inferior)?
Passo 1
O enunciado pede para calcular os determinantes de duas matrizes triangulares (uma 2×2 e outra 3×3) e, a partir dos resultados, inferir uma propriedade geral sobre determinantes de matrizes triangulares (superior ou inferior). Vamos usar a definição de determinante para matrizes 2×2 e a expansão por cofactores (ou observar diretamente a diagonal) para matrizes 3×3.
Em ambos os casos o valor do determinante foi exatamente o produto dos elementos da diagonal principal (no 2×2: 2\cdot3; no 3×3: 1\cdot(-2)\cdot6). Isso sugere a propriedade geral:
Resposta
(a) 6
(b) -12
Para qualquer matriz triangular (superior ou inferior), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, isto é,