Desenhe o sólido Q limitado pela superfície S delimitada pelo cilindro z=4-x^{2} e os planos z+y=2 ; y=1 e y=0, no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sólido Q que está no primeiro octante (isto é, x\ge0, y\ge0, z\ge0) e é limitado por:
  1. A superfície parabólica z=4 - x^2.
  2. O plano inclinado z + y = 2, ou seja, z = 2 - y.
  3. Os planos verticais y=0 e y=1.

Passo 2

Vamos primeiro entender a projeção de Q no plano xy.
  • Como z\ge0, da paraboloide z=4-x^2 vem a condição 4 - x^2\ge0, ou seja 0\le x\le2.
  • A condição do plano z=2-y impõe 2 - y\ge0, ou seja 0\le y\le2. Mas como temos também y\le1, ficamos com 0\le x\le2,\quad 0\le y\le1.
Dentro desse retângulo, a “tampa” do sólido é dada por
\;z \;\le\; \min\{4 - x^2,\;2 - y\}.
A curva em que as duas superfícies se encontram vem de
4 - x^2 \;=\; 2 - y \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y = 2.
Essa curva divide a projeção retangular em duas zonas: à esquerda dela o teto é o plano z=2-y, e à direita o teto é o parabolóide z=4-x^2.

Passo 3

Para montar o esboço em 3D, fixamos uma perspectiva isométrica:
  • O eixo x aponta para a direita e ligeiramente para frente.
  • O eixo y aponta para a esquerda e para trás.
  • O eixo z é vertical para cima.
Em seguida desenhamos:
  1. O plano y=0 (é o plano xz–paredão lateral).
  2. O plano y=1, paralelo ao anterior, a uma unidade de distância.
  3. O parabolóide z=4-x^2, que se abre no sentido do eixo x, com vértice em (0,0,4) e corte em z=0 na reta x=\pm2.
  4. O plano inclinado z=2-y, que tem intercepto em z=2 quando y=0 e decréscimo unitário em y.

Passo 4

Por fim, destacamos a curva de interseção \{x^2+y=2,\;0\le y\le1\}, que aparece no interior do parabolóide. À esquerda dessa curva (isto é, onde x^2+y<2) o teto do sólido é o plano z=2-y; à direita (onde x^2+y>2) o teto é o parabolóide z=4-x^2. As paredes frontais são y=0 e y=1, e o chão é o plano z=0.

Resposta

Um esboço isométrico qualitativo de Q mostra:
  • Duas paredes verticais paralelas em y=0 e y=1.
  • Um parabolóide z=4-x^2 curvando-se para trás.
  • Um plano inclinado z=2-y cortando o parabolóide ao longo da curva x^2+y=2.
  • Abaixo de tudo, o chão em z=0.
Desse modo obtemos o sólido Q completamente delimitado pelas superfícies indicadas.

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