Desenhe o sólido Q limitado pela superfície S delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e os planos x+2 y=4 e z=4, no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para “desenhar” o sólido Q que, no primeiro octante ( x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0), é limitado lateralmente pelo cilindro
x^{2}+y^{2}=4,
por um plano oblíquo
x+2y=4
e pelo plano horizontal
z=4.
Para visualizar bem, vamos primeiro encontrar a projeção desse sólido no plano xy (a “base” de Q) e só então pensar na extrusão ao longo de z.

Passo 2

Determinar a região de projeção D\subset\{(x,y)\mid x\ge0,y\ge0\}\) tal que \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}\le4,\\\ x+2y\le4. \end{cases}
No primeiro octante, x^{2}+y^{2}=4\] é o arco de circunferência de raio \(2 e x+2y=4 intercepta os eixos em (4,0) e (0,2). Como x\ge0,y\ge0 e a circunferência só vai até x=2, o segmento relevante dessa reta vai de (2,1) até (0,2). A região D é, portanto, o pedaço do quarto de disco de raio 2 limitado por esse segmento de reta.

Passo 3

Calcular precisamente o ponto de interseção entre a circunferência x^{2}+y^{2}=4 e a reta x+2y=4.
Substituindo x=4-2y em x^{2}+y^{2}=4 obtém-se
(4-2y)^{2}+y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad 5y^{2}-16y+12=0,
cuja solução “interior” ao primeiro octante é y=1{,}2, dando x=4-2\cdot1{,}2=1{,}6.
Logo, os vértices de D são
(0,0), (2,0), (1{,}6,1{,}2) e (0,2), unidos pela circunferência e pelo segmento de reta.

Passo 4

Uma vez encontrada a projeção D, o sólido Q é a extrusão vertical dessa região de z=0 até z=4.
Em outras palavras,
Q=\bigl\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\;0\le z\le4\bigr\}.

Passo 5

Esboço do sólido Q:
  1. No plano xy, desenhe o primeiro quadrante da circunferência de raio 2 e trace a reta de (2,1) a (0,2). A região interna a ambos é D.
  2. Eleve essa região até z=4: você terá uma parede cilíndrica lateral, uma face plana oblíqua dada por x+2y=4 e duas faces horizontais em z=0 e z=4.

Resposta

O sólido Q é a região
\bigl\{(x,y,z)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\ x^{2}+y^{2}\le4,\\ x+2y\le4,\\\ 0\le z\le4\bigr\},
que se obtém projetando no plano xy o quarto de disco de raio 2 limitado pela reta x+2y=4 e, em seguida, extrudando verticalmente até z=4.

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