Calcule os determinantes abaixo usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular:
(e) |llll2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 1 & 3 & 1 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz usando operações elementares até ela ficar triangular. A matéria aqui é sobre determinantes e operações com matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como fazer operações nas linhas da matriz para simplificar e chegar em uma forma onde seja fácil multiplicar os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original:
2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 1 & 3 & 1 & 1
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero.

Passo 3

Vamos começar eliminando o elemento (3,1), que é 1. Para isso, podemos substituir a terceira linha pela terceira linha menos (1/2) da primeira linha:
L3 = L3 - 12L1
Fazendo isso, a nova terceira linha fica:
1 - 12times 2 & 0 - 12times 0 & 1 - 12times 1 & 0 - 12times 0 = 0 & 0 & 12 & 0
Então, a matriz fica:
2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 12 & 0 1 & 3 & 1 & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento (4,1), que também é 1. Para isso, substituímos a quarta linha pela quarta linha menos (1/2) da primeira linha:
L4 = L4 - 12L1
Calculando:
1 - 12times 2 & 3 - 12times 0 & 1 - 12times 1 & 1 - 12times 0 = 0 & 3 & 12 & 1
A matriz fica agora:
2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 12 & 0 0 & 3 & 12 & 1

Passo 5

Vamos eliminar o elemento (4,2), que é 3. Para isso, substituímos a quarta linha pela quarta linha menos (1) da segunda linha:
L4 = L4 - L2
Calculando:
0 - 0 & 3 - 3 & 12 - 0 & 1 - 0 = 0 & 0 & 12 & 1
A matriz agora é:
2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 12 & 1

Passo 6

Por fim, vamos eliminar o elemento (4,3), que é 12. Substituímos a quarta linha pela quarta linha menos a terceira linha:
L4 = L4 - L3
Fazendo isso:
0 - 0 & 0 - 0 & 12 - 12 & 1 - 0 = 0 & 0 & 0 & 1
Agora, a matriz ficou triangular superior:
2 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 12 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

O determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal:
2 times 3 times 12 times 1 = 3
Então, o determinante é 3.

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