Considere o seguinte subespaço de
.
(b) Complete esta base até uma base de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para completar uma base de
até uma base de
.
Conteúdo: subespaços, combinação linear, base e extensão de base.
Conteúdo: subespaços, combinação linear, base e extensão de base.
Passo 2
Escrevemos o vetor genérico de
como combinação dos parâmetros
:
Logo com
Passo 3
Verificamos se há dependência entre
. Buscamos
e
tais que
Nas coordenadas:
Da terceira coordenada vem
.
Da primeira coordenada vem , logo
.
Verificando a segunda coordenada: .
Portanto
Da primeira coordenada vem
Verificando a segunda coordenada:
Portanto
ou seja,
é combinação linear de
.
Passo 4
Como
é dependente de
, uma base de
é
Passo 5
Para estender essa base a
, basta acrescentar um vetor que não esteja em
.
Escolhemos, por exemplo,
Escolhemos, por exemplo,
Se
fosse combinação de
e
, existiríam
com
.
Da componente viria
, da componente
,
mas então a componente seria
.
Logo e
é independente.
Da componente
mas então a componente
Logo
Resposta
Uma base de
que estende a base de
é