Considere o seguinte subespaço de R^3.
W=(a-b+c, 2 a+b+5 c, b+c) in R^3, forall a, b, c in R
(b) Complete esta base até uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado define
W = (a-b+c,;2a+b+5c,;b+c)inR^3mid a,b,cinR
e pede para completar uma base de W até uma base de R^3.
Conteúdo: subespaços, combinação linear, base e extensão de base.

Passo 2

Escrevemos o vetor genérico de como combinação dos parâmetros :
Logo com

Passo 3

Verificamos se há dependência entre v1,v2,v3. Buscamos alpha e beta tais que
alpha v1+beta v2 = v3
Nas coordenadas:
alpha(1,2,0)+beta(-1,1,1) = (1,5,1)
Da terceira coordenada vem beta=1.
Da primeira coordenada vem alpha - 1 = 1, logo alpha=2.
Verificando a segunda coordenada: 2cdot2 + 1 = 5.
Portanto
v3 = 2,v1 + 1,v2,
ou seja, v3 é combinação linear de v1,v2.

Passo 4

Como v3 é dependente de v1,v2, uma base de W é
v1,v2 = (1,2,0),,(-1,1,1)

Passo 5

Para estender essa base a R^3, basta acrescentar um vetor que não esteja em W.
Escolhemos, por exemplo,
u = (0,0,1)
Se u fosse combinação de v1 e v2, existiríam alpha,beta com
alpha(1,2,0)+beta(-1,1,1)=(0,0,1).
Da componente 3 viria beta=1, da componente 1 alpha-1=0Rightarrowalpha=1,
mas então a componente 2 seria 2cdot1+1=3neq0.
Logo unotin W e v1,v2,u é independente.

Resposta

Uma base de R^3 que estende a base de W é
(1,2,0),;(-1,1,1),;(0,0,1)

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