Sejam alpha=(0 ; 2),(2 ;-1) e beta=(1 ; 1 ; 0),(0 ; 0 ;-1),(1 ; 0 ; 1) bases de R^2 e R^3.
[S]beta^alpha=[cc 2 & 0 4 & 0 0 & -1 ]
Determine S(x ; y).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Scolon R^2toR^3, cujas bases são
alpha=(0,2),(2,-1) em R^2 e beta=(1,1,0),(0,0,-1),(1,0,1) em R^3
e fornece a matriz de S nessas bases:
[S]beta^alpha = 2 & 0 4 & 0 0 & -1
Para achar S(x,y) em coordenadas canônicas, vamos: ( 1) expressar (x,y) em coordenadas de alpha, ( 2) multiplicar pela matriz, e ( 3) voltar ao sistema canônico usando beta.

Passo 2

Escrevemos
Isso gera o sistema
Da primeira equa\c{c}~{a}o vem (b=\frac{x}{2}]. Substituindo na segunda:

Logo
]

Passo 3

Calculamos as coordenadas de em pela multiplica\c{c}~{a}o
]

Passo 4

Finalmente, voltamos ao sistema canônico usando a base beta=v1,v2,v3:
v1=(1,1,0), v2=(0,0,-1), v3=(1,0,1)
Como
S(x,y)=c1,v1 + c2,v2 + c3,v3,
temos
S(x,y) =l(c1+c3,;c1,;-c2+c3r)
Substituindo c1=tfracx+2y2, c2=x+2y, c3=-tfracx2, obtemos
S(x,y) =l(tfracx+2y2-tfracx2,;tfracx+2y2,;-,(x+2y)-tfracx2r) =(y,;tfracx2+y,;-tfrac3x2-2y)

Resposta

S(x,y)=l(y,;tfracx2+y,;-tfrac3x2-2yr)

Exercícios relacionados