Considere a matriz
A=[rrr 3 & 1 & -1 4 & 3 & -2 -4 & -2 & 3 ]
(a) Determine o conjunto S=v in R^3 mid A v=v.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto
S = vinR^3 mid Av = v
ou seja, todos os autovetores de A associados ao autovalor lambda=1. Vamos usar a ideia de resolver
(A - I)v = 0,
que é um sistema homogêneo, e depois parametrizar sua solução.

Passo 2

Calculamos A - I. Como
A = 3 & 1 & -1 4 & 3 & -2 -4 & -2 & 3 , I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
temos
A - I = 3-1 & 1 & -1 4 & 3-1 & -2 -4 & -2 & 3-1 = 2 & 1 & -1 4 & 2 & -2 -4& -2 & 2

Passo 3

Escrevemos o sistema (A - I)v = 0 em coordenadas v=(x,y,z):
2x + y - z = 0, 4x + 2y - 2z = 0, -4x -2y + 2z = 0
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira e a terceira é o negativo da segunda, então só existe uma equação independente:
2x + y - z = 0Longrightarrow z = 2x + y

Passo 4

Como x e y são livres e z = 2x+y, escrevemos
v = (x,y,2x+y) = x,(1,0,2) + y,(0,1,1)
Isso mostra que a solução é o subespaço gerado por (1,0,2) e (0,1,1).

Resposta

S = (x,y,2x+y)mid x,yinR = span(1,0,2),,(0,1,1)

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