Calcule os determinantes abaixo usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse determinante juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares até chegar numa matriz triangular. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como realizar operações elementares nas linhas da matriz e como essas operações afetam o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos calcular o determinante:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para isso, vamos usar operações elementares de linhas.
Passo 3
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que já é 1).
Primeira, vamos zerar o elemento (2,1), que é 3. Fazemos isso subtraindo 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Calculando:
- Nova segunda linha:
-
3 - 3 times 1 = 0 -
1 - 3 times 0 = 1 -
2 - 3 times 0 = 2 -
2 - 3 times (-1) = 2 + 3 = 5
-
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento (3,1), que é 1. Fazemos isso subtraindo a primeira linha da terceira linha:
Calculando:
- Nova terceira linha:
-
1 - 1 = 0 -
0 - 0 = 0 -
-2 - 0 = -2 -
1 - (-1) = 1 + 1 = 2
-
A matriz fica:
Passo 5
Por fim, vamos zerar o elemento (4,1), que é 2. Fazemos isso subtraindo 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Calculando:
- Nova quarta linha:
-
2 - 2 times 1 = 0 -
0 - 2 times 0 = 0 -
0 - 2 times 0 = 0 -
1 - 2 times (-1) = 1 + 2 = 3
-
Agora, a matriz triangular fica assim:
Passo 6
Agora que a matriz está triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), podemos calcular o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal:
Resposta
O determinante da matriz é -6.