Calcule os determinantes abaixo usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular:
(f) |rrrr1 & 0 & 0 & -1 3 & 1 & 2 & 2 1 & 0 & -2 & 1 2 & 0 & 0 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares até chegar numa matriz triangular. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como realizar operações elementares nas linhas da matriz e como essas operações afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos calcular o determinante:
1 & 0 & 0 & -1 3 & 1 & 2 & 2 1 & 0 & -2 & 1 2 & 0 & 0 & 1
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para isso, vamos usar operações elementares de linhas.

Passo 3

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que já é 1).
Primeira, vamos zerar o elemento (2,1), que é 3. Fazemos isso subtraindo 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
L2 = L2 - 3 cdot L1
Calculando:
  • Nova segunda linha:
    • 3 - 3 times 1 = 0
    • 1 - 3 times 0 = 1
    • 2 - 3 times 0 = 2
    • 2 - 3 times (-1) = 2 + 3 = 5
Então, a matriz fica:
1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 2 & 5 1 & 0 & -2 & 1 2 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento (3,1), que é 1. Fazemos isso subtraindo a primeira linha da terceira linha:
L3 = L3 - L1
Calculando:
  • Nova terceira linha:
    • 1 - 1 = 0
    • 0 - 0 = 0
    • -2 - 0 = -2
    • 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
A matriz fica:
1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 2 & 5 0 & 0 & -2 & 2 2 & 0 & 0 & 1

Passo 5

Por fim, vamos zerar o elemento (4,1), que é 2. Fazemos isso subtraindo 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
L4 = L4 - 2 cdot L1
Calculando:
  • Nova quarta linha:
    • 2 - 2 times 1 = 0
    • 0 - 2 times 0 = 0
    • 0 - 2 times 0 = 0
    • 1 - 2 times (-1) = 1 + 2 = 3
Agora, a matriz triangular fica assim:
1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 2 & 5 0 & 0 & -2 & 2 0 & 0 & 0 & 3

Passo 6

Agora que a matriz está triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), podemos calcular o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal:
Determinante = 1 times 1 times (-2) times 3 = -6

Resposta

O determinante da matriz é -6.

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