Considere a matriz
A=[rrr 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ]
(c) Obtenha uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização da matriz
A = 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ,
isto é, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1 A P = D
Para isso vamos calcular os autovalores de A (raízes do polinômio característico) e depois escolher uma base de autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det -lambda & -1 & 1 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda
Expandindo pela primeira linha:
det(A - lambda I) = -lambdal((-lambda)(-lambda)-1cdot1r) -(-1)l((-1)(-lambda)-1cdot1r) +1l((-1)cdot1-(-lambda)cdot1r)
Isso leva a
-lambda(lambda^2-1)+( lambda-1)+(lambda-1) = -lambda^3+ lambda +2lambda-2 = -lambda^3+3lambda-2
Logo o polinômio característico é
-lambda^3+3lambda-2 = 0 Long<=ftrightarrow lambda^3 -3lambda +2 = 0

Passo 3

Fatorando lambda^3-3lambda+2 por tentativa, verificamos lambda=1 anula o polinômio e obtemos
lambda^3-3lambda+2 = (lambda-1)(lambda^2+lambda-2) = (lambda-1)^2(lambda+2)
Portanto os autovalores são
lambda1=1(mu<iplicidade 2), lambda2=-2(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
Damos parâmetros . Duas escolhas de autovetores independentes são

Passo 5

Para resolvemos , isto é
Dessa forma obtemos e . Um autovetor não nulo é

Passo 6

Colocando os autovetores em colunas, definimos
P = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2
Como det P = -3neq0, P é invertível e satisfaz
P^-1 A P = D

Resposta

A escolha
P = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2
é solução do problema, pois P^-1AP = D.

Exercícios relacionados