Considere a matriz
(c) Obtenha uma matriz invertível
P e uma matriz diagonal
D tais que
P^-1 A P=D .
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização da matriz
isto é, encontrar uma matriz invertível
P e uma matriz diagonal
D tais que
Para isso vamos calcular os autovalores de
A (raízes do polinômio característico) e depois escolher uma base de autovetores.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
Expandindo pela primeira linha:
Isso leva a
Logo o polinômio característico é
Passo 3
Fatorando
lambda^3-3lambda+2 por tentativa, verificamos
lambda=1 anula o polinômio e obtemos
Portanto os autovalores são
Passo 4
Para
resolvemos
, ou seja
Damos parâmetros
. Duas escolhas de autovetores independentes são
Passo 5
Para
resolvemos
, isto é
Dessa forma obtemos
e
. Um autovetor não nulo é
Passo 6
Colocando os autovetores em colunas, definimos
Como
det P = -3neq0 ,
P é invertível e satisfaz
Resposta
A escolha
é solução do problema, pois
P^-1AP = D .