Considere a seguinte matriz
A=[rrr 5 & -6 & 3 3 & -4 & 3 0 & 0 & 2 ]
(c) Mostre que A é diagonalizável, calculando uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que
P^-1 A P=D

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A= 5 & -6 & 3 3 & -4 & 3 0 & 0 & 2
é diagonalizável, ou seja, existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1AP=D
Para isso, vamos calcular os autovalores de A (resolvendo o polinômio característico) e depois encontrar autovetores suficientes para formar uma base de R^3.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I). Como o último pivô é 2-lambda,
det(A-lambda I) = (2-lambda)det5-lambda & -6[6pt]3 & -4-lambda
= (2-lambda)l((5-lambda)(-4-lambda)+18r) = (2-lambda)l(lambda^2-lambda-2r) = -(lambda+1)(lambda-2)^2
Logo os autovalores são
lambda1 = -1 (mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = 2 (mu<iplicidade algébrica 2) éé
]

Passo 3

Agora achamos os autovetores:
1. Para lambda1=-1: resolvemos (A+I)x=0. Isso dá o sistema
6x1-6x2+3x3=0, 3x1-3x2+3x3=0, 3x3=0
Da última equação vem x3=0, e das outras x1=x2. Um autovetor conveniente é
v1=(1,1,0)^T
2. Para lambda2=2: resolvemos (A-2I)x=0. O sistema equivalente é
3x1-6x2+3x3=0, 3x1-6x2+3x3=0, 0=0
Ou seja, x1-2x2+x3=0. Tomando x2=s, x3=t, temos x1=2s-t. Assim a família de autovetores é
s,(2,1,0)^T+t,(-1,0,1)^T
Escolhemos, por exemplo,
v2=(2,1,0)^T, v3=(-1,0,1)^T
Como obtemos dois autovetores independentes para lambda=2, a multiplicidade geométrica é 2, igual à algébrica. Logo há 3 autovetores independentes no total.

Passo 4

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3, e a matriz diagonal D com os autovalores na ordem correspondente:
P= 1 & 2 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , D= -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Verifica-se que det Pneq0, portanto P é invertível, e de fato
P^-1AP=D

Resposta

P= 1 & 2 & -1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , D= -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2

Exercícios relacionados