O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 1 & 5 & -4 -1 & -4 & 5 -2 & -8 & 7
usando escalonamento. O conteúdo envolve as propriedades das operações elementares sobre linhas:
– somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante;
– trocar duas linhas muda o sinal do determinante;
– multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar.
Passo 2
Começamos pela matriz original. Vamos zerar abaixo do pivô a11=1 sem alterar o determinante:
1 & 5 & -4 -1 & -4 & 5 -2 & -8 & 7
Passo 3
Zeramos o elemento -1 em a21 fazendo
L2 L2 + L1
Isso não altera det(A). A nova matriz é
1 & 5 & -4 0 & 1 & 1 -2 & -8 & 7
Passo 4
Zeramos o elemento -2 em a31 fazendo
L3 L3 + 2,L1,
também sem alterar det(A). Fica
1 & 5 & -4 0 & 1 & 1 0 & 2 & -1
Passo 5
Agora zeramos o elemento 2 em a32 usando
L3 L3 - 2,L2,
novamente sem alterar det(A). Obtém-se a forma triangular superior
1 & 5 & -4 0 & 1 & 1 0 & 0 & -3
Passo 6
Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
det(A) = 1 times 1 times (-3) = -3
Como não fizemos trocas de linha nem multiplicações de linha por escalares (além de somas de múltiplos), esse é exatamente o valor do determinante original.