Verifique se o ponto dado pertence às seguintes retas:
Ponto R=(1,5,6) na reta que passa por P0=(1,2,3) com vetor diretor (0,3,3)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer saber se o ponto R=(1,5,6) está na reta que passa por P0=(1,2,3) e tem vetor diretor v=(0,3,3).
Conteúdo: geometria analítica no espaço, mais precisamente retas em R^3 e suas equações paramétricas.
O que vamos precisar:
  • Entender que toda reta pode ser escrita como P(t)=P0+t,v.
  • Traduzir isso em equações para cada coordenada.
  • Verificar se existe um parâmetro t que reproduz as coordenadas de R.

Passo 2

Teoria e montagem das equações paramétricas:
Uma reta em R^3 é dada por
P(t)=P0+t,v,
onde
P0=(1,2,3), v=(0,3,3)
Logo
P(t)=(1,2,3)+t,(0,3,3)
Isso gera as equações paramétricas
x(t)=1+0t, y(t)=2+3t, z(t)=3+3t

Passo 3

Igualar cada coordenada de P(t) às de R=(1,5,6):
  1. x-componente:
1 = 1 + 0t Longrightarrow 1=1(va<= para qualquer t)
  1. y-componente:
5 = 2 + 3t Longrightarrow 3t=3 Longrightarrow t=1
  1. z-componente:
6 = 3 + 3t Longrightarrow 3t=3 Longrightarrow t=1

Passo 4

Como as duas últimas igualdades dão o mesmo t=1 e a de x não gera conflito, existe um único t que faz
P(t)=R
Então R realmente aparece na reta quando t=1.

Resposta

Sim! O ponto R=(1,5,6) pertence à reta, pois basta escolher t=1 para que P(1)=R.

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