Verifique se o ponto dado pertence às seguintes retas:
Ponto na reta que passa por com vetor diretor
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer saber se o ponto está na reta que passa por e tem vetor diretor .
Conteúdo: geometria analítica no espaço, mais precisamente retas em e suas equações paramétricas.
O que vamos precisar:
Entender que toda reta pode ser escrita como .
Traduzir isso em equações para cada coordenada.
Verificar se existe um parâmetro que reproduz as coordenadas de .
Passo 2
Teoria e montagem das equações paramétricas:
Uma reta em é dada por
onde
Logo
Isso gera as equações paramétricas
Passo 3
Igualar cada coordenada de P(t) às de R=(1,5,6):
x-componente:
1 = 1 + 0t Longrightarrow 1=1(va<= para qualquer t)
y-componente:
5 = 2 + 3t Longrightarrow 3t=3 Longrightarrow t=1
z-componente:
6 = 3 + 3t Longrightarrow 3t=3 Longrightarrow t=1
Passo 4
Como as duas últimas igualdades dão o mesmo t=1 e a de x não gera conflito, existe um único t que faz
P(t)=R
Então R realmente aparece na reta quando t=1.
Resposta
Sim! O ponto R=(1,5,6) pertence à reta, pois basta escolher t=1 para que P(1)=R.