Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\\\ -2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 4 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 3\times3. Aqui o conteúdo é cálculo de determinantes usando a regra de Sarrus, que é um método prático para matrizes 3\times3. Vamos aplicar essa regra à matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ -2 & 1 & 3\\\\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 2

Para a soma dos produtos das diagonais principais, calculamos:
3 \cdot 1 \cdot 5 = 15,\quad (-1) \cdot 3 \cdot 1 = -3,\quad 1 \cdot (-2) \cdot 4 = -8.
Logo,
\sum_{\text{diag principais}} = 15 - 3 - 8 = 4.

Passo 3

Para a soma dos produtos das diagonais secundárias, calculamos:
1 \cdot 1 \cdot 1 = 1,\quad 3 \cdot 3 \cdot 4 = 36,\quad 5 \cdot (-2) \cdot (-1) = 10.
Logo,
\sum_{\text{diag secundárias}} = 1 + 36 + 10 = 47.á

Passo 4

Segundo a regra de Sarrus, o determinante é a diferença entre essas soma:
\det(A) = \sum_{\text{diag principais}} \;-\;\sum_{\text{diag secundárias}} = 4 - 47 = -43.á

Resposta

-43

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