Determine quais das afirmativas abaixo são verdadeiras e quais são falsas, justificando as suas respostas.
a. \langle\vec{v}, \vec{w}\rangle=0 \Longleftrightarrow \vec{v}=\overrightarrow{0} ou \vec{w}=\overrightarrow{0}.
b. Se \langle\vec{v}, \vec{v}\rangle>0, então \vec{v}>0.
c. \|\vec{v}\|=1 \Longleftrightarrow \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} é unitário.
d. Se \frac{1}{\|\vec{v}\|}=1, então \vec{v} é unitário.
e. Se \vec{v} é unitário, então é perpendicular a todo vetor do espaço.
f. Se \langle\vec{v}, \vec{w}\rangle=0, qualquer que seja o vetor \vec{v} do espaço, então \vec{w}=\overrightarrow{0}.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar seis afirmativas sobre o produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e a norma \|\cdot\| num espaço vetorial real, identificando quais são verdadeiras e quais são falsas. Vamos usar propriedades básicas de ortogonalidade, norma e escalonamento de vetores.
Passo 2
a. Afirmativa:
\langle\vec v,\vec w\rangle = 0 \Longleftrightarrow \vec v = \overrightarrow{0}\;\text{ou}\;\vec w = \overrightarrow{0}.
Contraexemplo: em \mathbb R^2, tome \vec v=(1,0) e \vec w=(0,1). Então \langle\vec v,\vec w\rangle=0, mas nenhum dos dois é o vetor nulo. Logo, a afirmativa é falsa.
Passo 3
b. Afirmativa:
\text{Se }\langle\vec v,\vec v\rangle>0,\text{ então }\vec v>0.
Aqui há um erro de tipo: \vec v é um vetor e não se compara vetores com “{>0}”. O que a teoria garante é que \langle\vec v,\vec v\rangle>0 implica \vec v\neq\overrightarrow{0}, mas não que “\vec v>0” no sentido usual. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
c. Afirmativa:
\|\vec v\|=1 \Longleftrightarrow \frac{\vec v}{\|\vec v\|}\text{ é unitário}.
Para qualquer \vec v\neq\overrightarrow{0}\(,\frac{\vec v}{|\vec v|}) sempre tem norma 1, mesmo quando \|\vec v\|\neq1. Por exemplo, se \|\vec v\|=2, ainda assim \bigl\|\frac{\vec v}{2}\bigr\|=1. Logo, a conversão de “se e somente se” falha no sentido inverso, e a afirmativa é falsa.
Passo 5
d. Afirmativa:
\text{Se }\frac{1}{\|\vec v\|}=1,\text{ então }\vec v\text{ é unitário.}ãéá
Da igualdade \frac1{\|\vec v\|}=1 segue \|\vec v\|=1, portanto \vec v tem norma unitária. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
e. Afirmativa:
\text{Se }\vec v\text{ é unitário, então é perpendicular a todo vetor do espaço.}éáãéç
Isso claramente falha: em \mathbb R^2, o vetor unitário (1,0) não é ortogonal a (1,1). Logo, a afirmativa é falsa.
Passo 7
f. Afirmativa:
\text{Se }\langle\vec v,\vec w\rangle=0\text{ para todo vetor }\vec v,\text{ então }\vec w=\overrightarrow{0}.ã
Prova: suponha \vec w\neq\overrightarrow{0}. Então tomando \vec v=\vec w teríamos \langle\vec w,\vec w\rangle=\|\vec w\|^2>0, contradição. Logo \vec w deve ser o vetor nulo, e a afirmação é verdadeira.