Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 5 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz 4\times4
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 5 & 1 & 3\\\\ 2 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e pede \det(A). O conteúdo é cálculo de determinante via expansão por cofactores (menores e sinais).

Passo 2

Como na primeira linha de A só há entrada não nula em a_{14}=3, expandimos por essa linha:
\det(A) =\sum_{j=1}^{4}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(M_{1j}) =(-1)^{1+4}\,a_{14}\,\det(M_{14}) =-3\,\det(M_{14}),
pois (-1)^{5}=-1.

Passo 3

O menor M_{14} é a submatriz 3\times3 obtida removendo linha 1 e coluna 4 de A:
M_{14}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 5 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular \det(M_{14}) usamos de novo expansão pela primeira linha (apenas o terceiro elemento é não nulo):
\det(M_{14}) =\sum_{j=1}^{3}(-1)^{1+j}m_{1j}\det(N_{1j}) =(-1)^{1+3}\cdot2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 5\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =2\bigl(0\cdot1-5\cdot2\bigr) =-20.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=-3\,\det(M_{14}), vem
\det(A)=-3\times(-20)=60.

Resposta

\det(A)=60

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