Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 4 & 3 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & -2 \\\\ -1 & 3 & 2 & 7\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4. Vamos usar eliminação de Gauss (operações elementares de linha que não alteram o determinante) para reduzir a matriz a um formato em que fique fácil extrair o determinante por expansão ou pelo produto na diagonal.

Passo 2

Seja
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\\\ 2 & 4 & 3 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & -2\\\\ -1& 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}.
Aplicamos as operações
R_2\to R_2-2R_1,\quad R_3\to R_3-3R_1,\quad R_4\to R_4+R_1,
que mantêm \det(A) inalterado. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\\\ 0 & 6 & 5 & -2\\\\ 0 & 5 & 4 & -5\\\\ 0 & 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}.
Como não houve troca de linhas nem multiplicação de uma linha por escalar,
\det(A)=1\cdot\det(B),
onde
B=\begin{pmatrix} 6 & 5 & -2\\\\ 5 & 4 & -5\\\\ 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det(B), expandimos pela primeira linha:
\det(B) =6\det\begin{pmatrix}4 & -5\\\ 1 & 8\end{pmatrix} -5\det\begin{pmatrix}5 & -5\\\ 2 & 8\end{pmatrix} +(-2)\det\begin{pmatrix}5 & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}4 & -5\\\ 1 & 8\end{pmatrix} =4\cdot 8 -(-5)\cdot1 =32+5=37,
\det\begin{pmatrix}5 & -5\\\ 2 & 8\end{pmatrix} =5\cdot8 -(-5)\cdot2 =40+10=50,
\det\begin{pmatrix}5 & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =5\cdot1 -4\cdot2 =5-8=-3.
Substituindo,
\det(B)=6\cdot37 -5\cdot50 +(-2)\cdot(-3) =222 -250 +6 =-22.

Passo 5

Logo,
\det(A)=1\cdot(-22)=-22.

Resposta

-22

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