Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4\\\\ 2 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 1\\\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede o determinante de A. O conteúdo envolvido é a expansão de Laplace (cofatores) aproveitando que a terceira coluna tem apenas um elemento não nulo.

Passo 2

Como a terceira coluna de A só tem entrada não nula em a_{33} = -1, podemos usar a expansão de Laplace ao longo dessa coluna:
\det(A) = \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+3}a_{i3}\,\det(M_{i3}) = (-1)^{3+3}(-1)\det(M_{33}) = -\det(M_{33}),
onde M_{33} é o menor obtido excluindo a terceira linha e a terceira coluna de A.

Passo 3

O menor M_{33} é a matriz 3\times3 formada pelas linhas 1, 2 e 4 e colunas 1, 2 e 4:
M = M_{33} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular \det(M), usamos a regra de Sarrus ou fórmula de cofatores:
\det(M) = 1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot2) -2\cdot(2\cdot1 - 1\cdot2) +4\cdot(2\cdot2 - 1\cdot2).
Calculando cada parte:
1\cdot(1 - 2) = -1,\quad -2\cdot(2 - 2) = 0,\quad 4\cdot(4 - 2) = 8.
Logo
\det(M) = -1 + 0 + 8 = 7.

Passo 5

Então
\det(A) = -\det(M) = -7.

Resposta

-7

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