Seja
uma matriz real e
uma matriz obtida de
através das seguintes operações elementares:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Sabendo que
, calcule
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com
e obtém
a partir de
pelas operações elementares:
(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) .
Queremos calcular . Para isso, vamos usar as propriedades:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Queremos calcular
- Efeito de operações elementares sobre o determinante.
-
. -
para matriz .
Passo 2
A operação (i) é a troca de duas linhas, o que muda o sinal do determinante. Logo multiplica
por
.
A operação (ii) escala a linha por
, o que multiplica o determinante por
.
A operação (iii) soma da linha 2 à linha 1; esse tipo (III) não altera o determinante, ou seja, multiplica por
.
A operação (iv) troca novamente duas linhas, multiplicando o determinante por .
A operação (ii) escala a linha
A operação (iii) soma
A operação (iv) troca novamente duas linhas, multiplicando o determinante por
Passo 3
Combinando os fatores,
Passo 4
Agora usamos
e
. Assim,