Seja A_{5 \times 5} uma matriz real e B uma matriz obtida de A através das seguintes operações elementares:
(i) L_{3} \leftrightarrow L_{4}
(ii) L_{2} \leftrightarrow-2 L_{2}
(iii) L_{1} \leftrightarrow L_{1}+\frac{1}{4} L_{2}
(iv) L_{1} \leftrightarrow L_{3}
Sabendo que
\operatorname{det} A=12, calcule \operatorname{det}\left(-2 B^{t}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{5\times5} com \det A=12 e obtém B a partir de A pelas operações elementares:
(i) L_{3}\leftrightarrow L_{4},
(ii) L_{2}\leftrightarrow -2\,L_{2},
(iii) L_{1}\leftrightarrow L_{1}+\tfrac14\,L_{2},
(iv) L_{1}\leftrightarrow L_{3}.
Queremos calcular \det(-2\,B^{t}). Para isso, vamos usar as propriedades:
  1. Efeito de operações elementares sobre o determinante.
  2. \det(M^t)=\det(M).
  3. \det(cM)=c^{n}\det(M) para matriz n\times n.

Passo 2

A operação (i) é a troca de duas linhas, o que muda o sinal do determinante. Logo multiplica \det por -1.
A operação (ii) escala a linha 2 por -2, o que multiplica o determinante por -2.
A operação (iii) soma \tfrac14 da linha 2 à linha 1; esse tipo (III) não altera o determinante, ou seja, multiplica por 1.
A operação (iv) troca novamente duas linhas, multiplicando o determinante por -1.

Passo 3

Combinando os fatores,
\det(B) =\det(A)\times(-1)\times(-2)\times1\times(-1) =\det(A)\times(-2) =12\times(-2) =-24.

Passo 4

Agora usamos \det(-2\,B^t)=(-2)^{5}\det(B^t) e \det(B^t)=\det(B). Assim,
\det(-2\,B^t) =(-2)^{5}\det(B) =-32\times(-24) =768.

Resposta

768

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