Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 tal que \operatorname{det} A \neq 0 e A^{3}+2 A^{2}=0. Calcule \operatorname{det} A.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem 4, invertível ( \det A\neq0) e satisfez
A^{3}+2A^{2}=0.
Queremos \det A. O que vamos usar é a fatoração matricial e as propriedades de determinante (multiplicatividade e relação com inversibilidade).

Passo 2

Fatoramos à esquerda:
A^{3}+2A^{2}=A^{2}(A+2I)=0.

Passo 3

Como \det A\neq0, a matriz A é invertível, então A^{2} também é invertível. Multiplicando a equação por A^{-2} à esquerda, vem
A+2I=0.

Passo 4

Da igualdade A+2I=0 segue imediatamente
A=-2I.

Passo 5

Calculamos o determinante:
\det A = \det(-2I)=(-2)^{4}\det(I)=16\cdot1=16.

Resposta

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