Calcule os determinantes da matrizes abaixo:
B=\left[\begin{array}{cccc}4 & -5 & 3 & 2 \\\ -1 & 0 & 3 & 0 \\\ 1 & 2 & -1 & 3 \\\ 2 & 1 & 0 & 4\end{array}\right] ;

Passo 1

O enunciado dá a matriz B e pede para calcular o determinante dela. A matriz é
B=\begin{pmatrix} 4 & -5 & 3 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
O que precisamos entregar: o valor de \det(B).]

Passo 2

Vou usar a expansão por cofatores (expansão de Laplace) ao longo da coluna 2. Por que escolhi a coluna 2? Porque nela aparece um elemento nulo ( b_{22}=0), o que reduz a quantidade de cálculos. Lembrete da fórmula de expansão por uma coluna: para uma matriz 4\times4,
\det(B)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+2}\,b_{i2}\,\det(M_{i2}),
onde M_{i2} é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha i e a coluna 2. Vou calcular cada termo não nulo dessa soma.

Passo 3

Identifico os elementos da coluna 2:
b_{12}=-5,\qquad b_{22}=0,\qquad b_{32}=2,\qquad b_{42}=1.
Substituindo na fórmula obtemos
\det(B)=(-1)^{1+2}(-5)\det(M_{12})+(-1)^{2+2}(0)\det(M_{22})+(-1)^{3+2}(2)\det(M_{32})+(-1)^{4+2}(1)\det(M_{42}).
Como b_{22}=0 o segundo termo some. Simplificando os sinais:
\det(B)=5\det(M_{12})-2\det(M_{32})+\det(M_{42}).
Agora vou calcular os determinantes das três matrizes 3\times3: M_{12},M_{32},M_{42}.

Passo 4

Calcular M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 de B. Assim
M_{12}=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(M_{12}) expandindo pela primeira linha:
\det(M_{12})=(-1)\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} -3\det\!\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora cada 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}=(-1)\cdot4-3\cdot0=-4,
\det\!\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-3\cdot2=4-6=-2.
Substituindo:
\det(M_{12})=(-1)(-4)-3(-2)=4+6=10.]

Passo 5

Calcular M_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2. Assim
M_{32}=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2\\[4pt] -1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Calculo \det(M_{32}) expandindo pela primeira linha:
\det(M_{32})=4\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} -3\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} +2\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
Calculando os 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}=3\cdot4-0\cdot0=12,
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}=(-1)\cdot4-0\cdot2=-4,
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-3\cdot2= -6.
Substituindo:
\det(M_{32})=4\cdot12-3(-4)+2(-6)=48+12-12=48.]

Passo 6

Calcular M_{42}: eliminar linha 4 e coluna 2. Assim
M_{42}=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2\\[4pt] -1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Calculo \det(M_{42}) expandindo pela primeira linha:
\det(M_{42})=4\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} -3\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} +2\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Calculando os 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}=3\cdot3-0\cdot(-1)=9,
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=(-1)\cdot3-0\cdot1=-3,
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)-3\cdot1=1-3=-2.
Substituindo:
\det(M_{42})=4\cdot9-3(-3)+2(-2)=36+9-4=41.]

Passo 7

Agora reúno os resultados obtidos:
\det(M_{12})=10,\qquad \det(M_{32})=48,\qquad \det(M_{42})=41.
Lembrando que
\det(B)=5\det(M_{12})-2\det(M_{32})+\det(M_{42}),
substituo:
\det(B)=5\cdot10-2\cdot48+41=50-96+41=-5.

Resposta

\det(B)=-5

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