Nos itens abaixo, mostre que a matriz dada é invertível e determine a sua inversa:
B=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
e pede duas coisas: (i) mostrar que B é invertível; (ii) determinar B^{-1}.
Informações relevantes fornecidas: os quatro elementos de B são 3,\,-1,\,2,\,4. Não há outras condições nem imagens.]

Passo 2

O que significa “invertível” e qual critério prático usamos aqui? Uma matriz quadrada A é invertível se existe uma matriz A^{-1} tal que
A A^{-1}=A^{-1}A=I,
onde I é a matriz identidade. Para matrizes 2\times2 existe um critério simples baseado no determinante: se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é
\det(A)=ad-bc.
A matriz A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Isso é prático porque basta calcular um número.]

Passo 3

Calcular o determinante de B. Identificando a=3, b=-1, c=2, d=4, temos
\det(B)=a d - b c = 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2.
Agora as contas:
3\cdot 4 = 12,\qquad (-1)\cdot 2 = -2,\qquad -(-2)=+2,
logo
\det(B)=12+2=14.
Como \det(B)=14\neq 0, concluímos que B é invertível.

Passo 4

Fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com \det(A)\neq 0, a inversa é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Esta matriz dentro dos parênteses é a adjunta (adjugate) de A: troca a com d e muda de sinal b e c.]

Passo 5

Aplicar a fórmula a B. Já temos \det(B)=14. Substituindo a=3, b=-1, c=2, d=4 na fórmula:
B^{-1}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}4 & -(-1) \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} =\frac{1}{14}\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
Separando as frações e simplificando onde possível:
B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{14} & \dfrac{1}{14} \\[6pt] -\dfrac{2}{14} & \dfrac{3}{14}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{2}{7} & \dfrac{1}{14} \\[6pt] -\dfrac{1}{7} & \dfrac{3}{14}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida multiplicando B por B^{-1} (para ficar mais seguro). Multiplicando sem o fator \tfrac{1}{14} primeiro:
\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot4 + (-1)\cdot(-2) & 3\cdot1 + (-1)\cdot3 \\[6pt] 2\cdot4 + 4\cdot(-2) & 2\cdot1 + 4\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 & 0 \\[4pt] 0 & 14\end{pmatrix}.
Multiplicando por \tfrac{1}{14} obtemos a identidade
B\cdot B^{-1}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}14 & 0 \\[4pt] 0 & 14\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso confirma que a matriz encontrada é realmente a inversa de B.]

Resposta

B^{-1}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{7} & \dfrac{1}{14} \\[6pt] -\dfrac{1}{7} & \dfrac{3}{14}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados