Nos itens abaixo, mostre que a matriz dada é invertível e determine a sua inversa:
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 \\\\ 2 & 5 & 3\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]4 & 2 & 2\\[4pt]2 & 5 & 3\end{pmatrix}
e pede duas coisas: mostrar que A é invertível e determinar A^{-1}.
As informações relevantes que temos são apenas os elementos da matriz A (já escritos acima). Nada mais foi fornecido.]

Passo 2

Primeiro vou explicar o critério que vou usar para afirmar que uma matriz é invertível: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Para matrizes 3\times3 existe uma maneira direta e prática de calcular o determinante (regra de Sarrus) que eu vou usar aqui. Depois de verificar que o determinante é não nulo, vou encontrar a inversa usando o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar A em I; o que ficar do lado direito será A^{-1}.

Passo 3

Vou calcular o determinante de A pela regra de Sarrus. A regra de Sarrus diz, para
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
que
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
No nosso caso, a_{11}=2, a_{12}=1, a_{13}=3, a_{21}=4, a_{22}=2, a_{23}=2, a_{31}=2, a_{32}=5, a_{33}=3. Substituindo:
\begin{aligned} \det(A)&=2\cdot 2\cdot 3 + 1\cdot 2\cdot 2 + 3\cdot 4\cdot 5 \\\ &\quad -\bigl(3\cdot 2\cdot 2 + 2\cdot 2\cdot 5 + 1\cdot 4\cdot 3\bigr). \end{aligned}
Calcule passo a passo os termos:
2\cdot2\cdot3=12,\qquad 1\cdot2\cdot2=4,\qquad 3\cdot4\cdot5=60,
3\cdot2\cdot2=12,\qquad 2\cdot2\cdot5=20,\qquad 1\cdot4\cdot3=12.
Somando os positivos: 12+4+60=76. Somando os negativos: 12+20+12=44. Portanto
\det(A)=76-44=32.]

Passo 4

Como \det(A)=32\neq 0, concluímos que A é invertível. Agora vamos encontrar explicitamente A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan.

Passo 5

Explicando rapidamente o método: formamos a matriz aumentada [A\mid I] (onde I é a identidade 3\times3). Aplicamos operações elementares sobre linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha a outra) até reduzir o bloco esquerdo a I. As mesmas operações aplicadas transformarão o bloco direito em A^{-1}. Vou fazer cada operação e mostrar o resultado a cada passo.

Passo 6

Começamos com a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 5 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminar elementos abaixo do pivô a_{11}=2. Faço R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1.
Calculemos:
  • R_2-2R_1: [4,2,2] - 2[2,1,3]=[0,0,-4]. No lado direito: [0,1,0]-2[1,0,0]=[-2,1,0].
  • R_3-R_1: [2,5,3]-[2,1,3]=[0,4,0]. No lado direito: [0,0,1]-[1,0,0]=[-1,0,1].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

O segundo pivô na posição (2,2) é 0 nesta configuração, então troco R_2 e R_3 para trazer um não nulo para a posição de pivô:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 0 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 9

Normalizo a segunda linha para obter o pivô 1 em (2,2). Faço R_2\leftarrow \tfrac{1}{4}R_2:
R_2=\left[0,1,0\mid -\tfrac{1}{4},0,\tfrac{1}{4}\right].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 10

Elimino o elemento acima do pivô (2,2) (ou seja o 1 na posição (1,2)). Faço R_1\leftarrow R_1-R_2.
Calcule:
  • Lado esquerdo: [2,1,3]-[0,1,0]=[2,0,3].
  • Lado direito: [1,0,0]-[-\tfrac{1}{4},0,\tfrac{1}{4}]=[1+\tfrac{1}{4},0,-\tfrac{1}{4}]=[\tfrac{5}{4},0,-\tfrac{1}{4}].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 3 & \tfrac{5}{4} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 11

Agora trato o terceiro pivô. Normalizo a terceira linha dividindo por -4: R_3\leftarrow -\tfrac{1}{4}R_3. Isso dá
R_3=\left[0,0,1\mid \tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4},0\right].
A matriz é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 3 & \tfrac{5}{4} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4} & 0 \end{array}\right].]

Passo 12

Elimino o elemento acima do pivô (3,3) na linha 1 (que é 3). Faço R_1\leftarrow R_1-3R_3.
Calcule:
  • Lado esquerdo: [2,0,3]-3[0,0,1]=[2,0,0].
  • Lado direito: [\tfrac{5}{4},0,-\tfrac{1}{4}] - 3[\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4},0]
=\Bigl(\tfrac{5}{4}-\tfrac{3}{2},\;0-(-\tfrac{3}{4}),\; -\tfrac{1}{4}-0\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{4},\;\tfrac{3}{4},\; -\tfrac{1}{4}\Bigr).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4} & 0 \end{array}\right].]

Passo 13

Por fim, normalizo a primeira linha dividindo por 2: R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1. Isso deixa o lado esquerdo como I e o lado direito com a matriz inversa:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{8} & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{8}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4} & 0 \end{array}\right].
Agora o bloco esquerdo é a identidade, então o bloco direito é exatamente A^{-1}. (Se quiser, pode verificar multiplicando A por essa matriz e confirmando que dá I.)]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{8} & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{8}\\[6pt] -\tfrac{1}{4} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4} & 0 \end{pmatrix}]

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