Nos itens abaixo, mostre que a matriz dada é invertível e determine a sua inversa: A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 \\\\ 2 & 5 & 3\end{array}\right];
e pede duas coisas: mostrar que A é invertível e determinar A^{-1}.
As informações relevantes que temos são apenas os elementos da matriz A (já escritos acima). Nada mais foi fornecido.]
Passo 2
Primeiro vou explicar o critério que vou usar para afirmar que uma matriz é invertível: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Para matrizes 3\times3 existe uma maneira direta e prática de calcular o determinante (regra de Sarrus) que eu vou usar aqui. Depois de verificar que o determinante é não nulo, vou encontrar a inversa usando o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar A em I; o que ficar do lado direito será A^{-1}.
Passo 3
Vou calcular o determinante de A pela regra de Sarrus. A regra de Sarrus diz, para
Somando os positivos: 12+4+60=76. Somando os negativos: 12+20+12=44. Portanto
\det(A)=76-44=32.]
Passo 4
Como \det(A)=32\neq 0, concluímos que A é invertível. Agora vamos encontrar explicitamente A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan.
Passo 5
Explicando rapidamente o método: formamos a matriz aumentada [A\mid I] (onde I é a identidade 3\times3). Aplicamos operações elementares sobre linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha a outra) até reduzir o bloco esquerdo a I. As mesmas operações aplicadas transformarão o bloco direito em A^{-1}. Vou fazer cada operação e mostrar o resultado a cada passo.
Por fim, normalizo a primeira linha dividindo por 2: R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1. Isso deixa o lado esquerdo como I e o lado direito com a matriz inversa:
Agora o bloco esquerdo é a identidade, então o bloco direito é exatamente A^{-1}. (Se quiser, pode verificar multiplicando A por essa matriz e confirmando que dá I.)]