As perguntas são:
a) Calcular \det(AB).
b) Encontrar A^{-1}.
c) Encontrar (AB)^{-1}.
d) Determinar \det\text{(C)} sabendo que C A^{T}=2 B C^{2}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
As diagonais de A são 1,2,4,3.
As diagonais de B são -3,-4,-1,-2.
Ambas as matrizes são triangulares ( A é triangular superior, B é triangular inferior).
Passo 2
(a) Cálculo de \det(AB).
Explicação da ideia usada: para matrizes quadradas vale a propriedade
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Além disso, para matrizes triangulares (superior ou inferior) o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(\text{triangular})=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}.
Aplicando a A e a B:
\det(A)=1\cdot 2\cdot 4\cdot 3=24,
\det(B)=(-3)\cdot(-4)\cdot(-1)\cdot(-2).
Calculemos \det(B) passo a passo: (-3)(-4)=12, 12\cdot(-1)=-12, -12\cdot(-2)=24. Logo \det(B)=24.
Agora
\det(AB)=\det(A)\det(B)=24\cdot 24=576.
Passo 3
(b) Cálculo de A^{-1}.
Estratégia e ideia: para encontrar A^{-1} vamos resolver A X = I, coluna a coluna. Cada coluna x_j de X é solução do sistema A x_j = e_j (onde e_j é o j-ésimo vetor coluna da identidade). Como A é triangular superior com diagonais não nulas, o inverso existe e será também triangular superior. Aproveitamos a forma triangular para aplicar substituição regressiva (back substitution) — começamos pela última equação e subimos.
Escrevendo as equações de forma geral para uma coluna x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T:
da última linha de A x = b vem 3 x_4 = b_4, da linha 3 vem 4 x_3 -2 x_4 = b_3, da linha 2 vem 2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 = b_2, da linha 1 vem x_1 -5 x_2 - x_3 +2 x_4 = b_1. Para cada coluna b=e_j aplicamos essas equações.
Portanto para obter (AB)^{-1} podemos calcular B^{-1} e multiplicar por A^{-1} (na ordem B^{-1}A^{-1}).
Como B é triangular inferior, obtemos B^{-1} por substituição direta (forward substitution). Resolvendo B y = e_j coluna a coluna (procedimento análogo ao do item (b) mas indo de cima para baixo) obtemos:
Coluna 1 (e_1):
Da linha 1: -3 y_1 =1 \Rightarrow y_1=-\tfrac{1}{3}.
(d) Determinar \det\text{(C)} sabendo que C A^{T}=2 B C^{2}.
Ideia: aplicar determinante dos dois lados e usar propriedades. Para matrizes quadradas n\times n vale \det(XY)=\det(X)\det(Y) e \det(kX)=k^{n}\det(X) (onde k é escalar e n a ordem). Aqui n=4.
Dividindo por 24 (não supomos aqui \det\text{(C)}=0 para fazer a simplificação, mas depois incluiremos esse caso):
\det\text{(C)} = 16 \, [\det\text{(C)}]^{2}.
Isto é uma equação em x=\det\text{(C)}:
16 x^{2} - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(16 x -1)=0.
As soluções são x=0 ou x=\tfrac{1}{16}.
Verificação rápida: x=0 satisfaz a equação original de determinantes (ambos os lados ficam zero). x=\tfrac{1}{16} também satisfaz. Portanto as possibilidades para \det\text{(C)} são 0 ou \tfrac{1}{16}.