Dadas as matrizes
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -5 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right],
determine:
a) \operatorname{det}(A B)
b) A^{-1}
c) (A B)^{-1}
d) \operatorname{det}\text{(C)}, onde C A^{T}=2 B C^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -5 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad B=\left[\begin{array}{cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right].
As perguntas são:
a) Calcular \det(AB).
b) Encontrar A^{-1}.
c) Encontrar (AB)^{-1}.
d) Determinar \det\text{(C)} sabendo que C A^{T}=2 B C^{2}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • As diagonais de A são 1,2,4,3.
  • As diagonais de B são -3,-4,-1,-2.
  • Ambas as matrizes são triangulares ( A é triangular superior, B é triangular inferior).

Passo 2

(a) Cálculo de \det(AB).
Explicação da ideia usada: para matrizes quadradas vale a propriedade
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Além disso, para matrizes triangulares (superior ou inferior) o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(\text{triangular})=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}.
Aplicando a A e a B:
\det(A)=1\cdot 2\cdot 4\cdot 3=24,
\det(B)=(-3)\cdot(-4)\cdot(-1)\cdot(-2).
Calculemos \det(B) passo a passo: (-3)(-4)=12, 12\cdot(-1)=-12, -12\cdot(-2)=24. Logo \det(B)=24.
Agora
\det(AB)=\det(A)\det(B)=24\cdot 24=576.

Passo 3

(b) Cálculo de A^{-1}.
Estratégia e ideia: para encontrar A^{-1} vamos resolver A X = I, coluna a coluna. Cada coluna x_j de X é solução do sistema A x_j = e_j (onde e_j é o j-ésimo vetor coluna da identidade). Como A é triangular superior com diagonais não nulas, o inverso existe e será também triangular superior. Aproveitamos a forma triangular para aplicar substituição regressiva (back substitution) — começamos pela última equação e subimos.
Escrevendo as equações de forma geral para uma coluna x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T:
da última linha de A x = b vem 3 x_4 = b_4, da linha 3 vem 4 x_3 -2 x_4 = b_3, da linha 2 vem 2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 = b_2, da linha 1 vem x_1 -5 x_2 - x_3 +2 x_4 = b_1. Para cada coluna b=e_j aplicamos essas equações.
Vamos resolver coluna a coluna.
Coluna 1: resolver A x = e_1=(1,0,0,0)^T.
  • Da linha 4: 3 x_4 = 0 \Rightarrow x_4=0.
  • Linha 3: 4 x_3 -2 x_4 = 0 \Rightarrow x_3=0.
  • Linha 2: 2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 = 0 \Rightarrow x_2=0.
  • Linha 1: x_1 -5 x_2 -x_3 +2 x_4 =1 \Rightarrow x_1=1.
    Portanto a 1ª coluna de A^{-1} é \left[1,0,0,0\right]^T.
Coluna 2: resolver A x = e_2=(0,1,0,0)^T.
  • Linha 4: 3 x_4 =0 \Rightarrow x_4=0.
  • Linha 3: 4 x_3 -2 x_4 =0 \Rightarrow x_3=0.
  • Linha 2: 2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 =1 \Rightarrow 2 x_2 =1 \Rightarrow x_2=\tfrac{1}{2}.
  • Linha 1: x_1 -5 x_2 -x_3 +2 x_4 =0 \Rightarrow x_1 =5 x_2 = \tfrac{5}{2}.
    Portanto a 2ª coluna é \left[\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2},0,0\right]^T.
Coluna 3: resolver A x = e_3=(0,0,1,0)^T.
  • Linha 4: 3 x_4 =0 \Rightarrow x_4=0.
  • Linha 3: 4 x_3 -2 x_4 =1 \Rightarrow 4 x_3 =1 \Rightarrow x_3=\tfrac{1}{4}.
  • Linha 2: 2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 =0 \Rightarrow 2 x_2 = 3 x_3 = 3\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4} \Rightarrow x_2=\tfrac{3}{8}.
  • Linha 1: x_1 -5 x_2 -x_3 +2 x_4 =0 \Rightarrow x_1 = 5 x_2 + x_3 = 5\cdot\tfrac{3}{8} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{15}{8} + \tfrac{2}{8} = \tfrac{17}{8}.
    Portanto a 3ª coluna é \left[\tfrac{17}{8},\tfrac{3}{8},\tfrac{1}{4},0\right]^T.
Coluna 4: resolver A x = e_4=(0,0,0,1)^T.
  • Linha 4: 3 x_4 =1 \Rightarrow x_4=\tfrac{1}{3}.
  • Linha 3: 4 x_3 -2 x_4 =0 \Rightarrow 4 x_3 = 2 x_4 = \tfrac{2}{3} \Rightarrow x_3=\tfrac{1}{6}.
  • Linha 2: 2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 =0 \Rightarrow 2 x_2 = 3 x_3 -4 x_4 = 3\cdot\tfrac{1}{6} -4\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{4}{3} = -\tfrac{5}{6}\Rightarrow x_2 = -\tfrac{5}{12}.
  • Linha 1: x_1 -5 x_2 -x_3 +2 x_4 =0 \Rightarrow x_1 = 5 x_2 + x_3 -2 x_4 = 5\cdot\left(-\tfrac{5}{12}\right) + \tfrac{1}{6} - \tfrac{2}{3} = -\tfrac{25}{12} + \tfrac{1}{6} - \tfrac{8}{12} = -\tfrac{25}{12} + \tfrac{2}{12} - \tfrac{8}{12} = -\tfrac{31}{12}.
Portanto a 4ª coluna é \left[-\tfrac{31}{12}, -\tfrac{5}{12}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}\right]^T.
Juntando as colunas obtemos A^{-1}:
A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{17}{8} & -\tfrac{31}{12} \\\\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{5}{12} \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{6} \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right].

Passo 4

(c) Cálculo de (AB)^{-1}.
Propriedade usada: para matrizes invertíveis vale
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Portanto para obter (AB)^{-1} podemos calcular B^{-1} e multiplicar por A^{-1} (na ordem B^{-1}A^{-1}).
Como B é triangular inferior, obtemos B^{-1} por substituição direta (forward substitution). Resolvendo B y = e_j coluna a coluna (procedimento análogo ao do item (b) mas indo de cima para baixo) obtemos:
Coluna 1 ( e_1):
  • Da linha 1: -3 y_1 =1 \Rightarrow y_1=-\tfrac{1}{3}.
  • Linha 2: 3 y_1 -4 y_2 =0 \Rightarrow -1 -4 y_2 =0 \Rightarrow y_2=-\tfrac{1}{4}.
  • Linha 3: 2 y_1 +2 y_2 - y_3 =0 \Rightarrow -\tfrac{2}{3} -\tfrac{1}{2} - y_3 =0 \Rightarrow y_3 = -\tfrac{7}{6}.
  • Linha 4: 2 y_1 + y_2 + y_3 -2 y_4 =0 \Rightarrow -\tfrac{25}{12} -2 y_4 =0 \Rightarrow y_4 = -\tfrac{25}{24}.
Coluna 2 ( e_2):
  • Linha 1: -3 y_1 =0 \Rightarrow y_1=0.
  • Linha 2: -4 y_2 =1 \Rightarrow y_2=-\tfrac{1}{4}.
  • Linha 3: 2 y_2 - y_3 =0 \Rightarrow y_3 = -\tfrac{1}{2}.
  • Linha 4: y_2 + y_3 -2 y_4 =0 \Rightarrow -\tfrac{1}{4} -\tfrac{1}{2} -2 y_4 =0 \Rightarrow y_4 = -\tfrac{3}{8}.
Coluna 3 ( e_3):
  • Linhas 1 e 2 implicam y_1=0,y_2=0.
  • Linha 3: - y_3 =1 \Rightarrow y_3=-1.
  • Linha 4: y_3 -2 y_4 =0 \Rightarrow -1 -2 y_4 =0 \Rightarrow y_4 = -\tfrac{1}{2}.
Coluna 4 ( e_4):
  • Linhas 1,2,3 dão y_1=0,y_2=0,y_3=0.
  • Linha 4: -2 y_4 =1 \Rightarrow y_4 = -\tfrac{1}{2}.
Assim
B^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} -\tfrac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\\\ -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & 0 & 0 \\\\ -\tfrac{7}{6} & -\tfrac{1}{2} & -1 & 0 \\\\ -\tfrac{25}{24} & -\tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Agora multiplicamos B^{-1}A^{-1}. Como A^{-1} e B^{-1} já foram obtidos, calculamos o produto; os cálculos linha a linha (somatórias) conduzem a:
linha 1 de B^{-1} tem só o primeiro termo não nulo, logo
\text{linha1}(B^{-1}A^{-1}) = -\tfrac{1}{3}\,\text{linha1}(A^{-1}) = \left[-\tfrac{1}{3}, -\tfrac{5}{6}, -\tfrac{17}{24}, \tfrac{31}{36}\right].
linha 2 (combinação de linhas 1 e 2 de A^{-1}):
\text{linha2}(B^{-1}A^{-1}) = -\tfrac{1}{4}\,\text{linha1}(A^{-1}) -\tfrac{1}{4}\,\text{linha2}(A^{-1}) = \left[-\tfrac{1}{4}, -\tfrac{3}{4}, -\tfrac{5}{8}, \tfrac{3}{4}\right].
linha 3 (combinação com coeficientes -\tfrac{7}{6}, -\tfrac{1}{2}, -1):
\text{linha3}(B^{-1}A^{-1}) = \left[-\tfrac{7}{6}, -\tfrac{19}{6}, -\tfrac{35}{12}, \tfrac{55}{18}\right].
linha 4 (combinação com coeficientes -\tfrac{25}{24}, -\tfrac{3}{8}, -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}):
\text{linha4}(B^{-1}A^{-1}) = \left[-\tfrac{25}{24}, -\tfrac{67}{24}, -\tfrac{119}{48}, \tfrac{187}{72}\right].
Portanto
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{6} & -\tfrac{17}{24} & \tfrac{31}{36} \\\\ -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{5}{8} & \tfrac{3}{4} \\\\ -\tfrac{7}{6} & -\tfrac{19}{6} & -\tfrac{35}{12} & \tfrac{55}{18} \\\\ -\tfrac{25}{24} & -\tfrac{67}{24} & -\tfrac{119}{48} & \tfrac{187}{72} \end{array}\right].

Passo 5

(d) Determinar \det\text{(C)} sabendo que C A^{T}=2 B C^{2}.
Ideia: aplicar determinante dos dois lados e usar propriedades. Para matrizes quadradas n\times n vale \det(XY)=\det(X)\det(Y) e \det(kX)=k^{n}\det(X) (onde k é escalar e n a ordem). Aqui n=4.
Tomando determinante em ambos os lados:
\det(CA^{T})=\det(2 B C^{2}).
Pela multiplicatividade,
\det\text{(C)}\det(A^{T}) = \det(2I)\det(B)\det(C^{2}).
Observações:
  • \det(A^{T})=\det(A).
  • \det(2I)=2^{4}=16.
  • \det(C^{2})=[\det\text{(C)}]^{2}.
Substituindo:
\det\text{(C)}\det(A) = 16\,\det(B)\,[\det\text{(C)}]^{2}.
Usando \det(A)=24 e \det(B)=24 (já calculados):
24\det\text{(C)} = 16\cdot 24 \cdot [\det\text{(C)}]^{2}.
Dividindo por 24 (não supomos aqui \det\text{(C)}=0 para fazer a simplificação, mas depois incluiremos esse caso):
\det\text{(C)} = 16 \, [\det\text{(C)}]^{2}.
Isto é uma equação em x=\det\text{(C)}:
16 x^{2} - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(16 x -1)=0.
As soluções são x=0 ou x=\tfrac{1}{16}.
Verificação rápida: x=0 satisfaz a equação original de determinantes (ambos os lados ficam zero). x=\tfrac{1}{16} também satisfaz. Portanto as possibilidades para \det\text{(C)} são 0 ou \tfrac{1}{16}.

Resposta

a) \;576
b) A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{17}{8} & -\tfrac{31}{12} \\\\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{5}{12} \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{6} \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right]
c) (AB)^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{6} & -\tfrac{17}{24} & \tfrac{31}{36} \\\\ -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{5}{8} & \tfrac{3}{4} \\\\ -\tfrac{7}{6} & -\tfrac{19}{6} & -\tfrac{35}{12} & \tfrac{55}{18} \\\\ -\tfrac{25}{24} & -\tfrac{67}{24} & -\tfrac{119}{48} & \tfrac{187}{72} \end{array}\right]
d) \; \det\text{(C)}=0 \quad\text{ou}\quad \det\text{(C)}=\tfrac{1}{16}

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