A matriz P é invertível? Resposta: Sim.

Passo 1

O que o enunciado pergunta: “A matriz P é invertível?”
Informações dadas no enunciado: apenas a indicação de resposta — “Resposta: Sim.” Não foi fornecida a matriz P (ou seus elementos), nem uma figura ou outra informação numérica sobre P.

Passo 2

Posso confirmar que a resposta afirmativa é plausível, mas NÃO tenho como verificar diretamente se a matriz P é invertível porque os elementos de P não foram fornecidos. Como não há a matriz, não é possível calcular determinante, faze r eliminação, ou checar autovalores numericamente.
Vou então ensinar passo a passo os métodos que você deve usar na prova para justificar com certeza que uma matriz quadrada P é invertível — assim, se no exame a resposta for “Sim”, você saberá como provar e calcular a inversa se for pedido.

Passo 3

Critério básico: determinante.
Teoria curta e útil: para uma matriz quadrada n\times n a matriz é invertível sse o determinante é diferente de zero. Em símbolos:
P \text{ é invertível } \Longleftrightarrow \det(P)\neq0.éí
O que é \det(P)? É uma função que associa a cada matriz um número (dependendo dos elementos). Para matrizes pequenas há fórmulas fáceis: para uma matriz 2\times2,
P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad \det(P)=ad-bc.
Exemplo prático (modelo de como fazer na prova): tome
P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
Calcule
\det(P)=2\cdot2-1\cdot3=4-3=1\neq0,
logo P é invertível. Na prova escreva: “determinante igual a 1, portanto matriz invertível”.]

Passo 4

Como calcular o inverso de 2\times2 rapidamente (útil se pedirem a inversa): para P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com \det(P)\neq0,
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
No exemplo anterior, como \det(P)=1,
P^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -3 & 2\end{pmatrix}.
Mostre passo a passo para o examinador: calcule o determinante, substitua na fórmula, escreva a matriz inversa.]

Passo 5

Método prático para n\times n: eliminação de Gauss–Jordan (algoritmo para provar invertibilidade e obter a inversa).
Ideia: pegue a matriz P e forme a matriz aumentada \bigl[P\mid I\bigr] (onde I é a identidade n\times n). Faça operações elementares por linhas até reduzir a parte da esquerda à identidade. Se for possível transformar a parte esquerda em I, então a parte direita acaba sendo P^{-1}; se fica impossível (alguma linha toda zero aparece antes de chegar em I), então P não é invertível.
Exemplo curto com o 2\times2 anterior (mostrando os passos que você pode escrever na prova):
Comece com
\bigl[P\mid I\bigr]=\begin{pmatrix}2 & 1 & \mid & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & \mid & 0 & 1\end{pmatrix}.
Faça R_2\leftarrow R_2-\tfrac{3}{2}R_1:
\begin{pmatrix}2 & 1 & \mid & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \mid & -\tfrac{3}{2} & 1\end{pmatrix}.
Faça R_2\leftarrow 2R_2:
\begin{pmatrix}2 & 1 & \mid & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \mid & -3 & 2\end{pmatrix}.
Faça R_1\leftarrow R_1-R_2 e por fim R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1:
\begin{pmatrix}1 & 0 & \mid & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & \mid & -3 & 2\end{pmatrix}.
A parte direita é exatamente P^{-1}. Na prova, escreva cada operação claramente para justificar.]

Passo 6

Critério de posto (rank) e independência linear — quando usar em provas teóricas.
Fato importante: para uma matriz quadrada P de ordem n,
P \text{ é invertível } \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(P)=n \Longleftrightarrow \ker(P)=\{0\}.éí
Significado das palavras:
  • \operatorname{rank}(P) é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
  • \ker(P) (núcleo) é o conjunto de vetores v tais que Pv=0. Se só o vetor zero satisfaz Pv=0, o núcleo é trivial e P é invertível.
    Na prova: se você mostrar que as colunas (ou linhas) são linearmente independentes, então já provou invertibilidade. Um jeito prático é resolver o sistema homogêneo Px=0; se só a solução for x=0, então invertível.

Passo 7

Critério via autovalores (quando for conveniente): se 0 não é autovalor de P (ou seja, o polinômio característico não tem raiz 0), então P é invertível. Em símbolos:
0\notin \sigma(P)\quad\Longrightarrow\quad P \text{ invertível.}í
Na prática isto significa: calcule o polinômio \det(P-\lambda I); se \lambda=0 não for raiz, então \det(P)=\det(P-0\cdot I)\neq0. Esse critério é útil em questões teóricas envolvendo autovalores.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (táticas):
  • Se n\le2 calcule o determinante diretamente (fórmula rápida).
  • Se n=3 experimente a regra de Sarrus ou eliminação; para matrizes maiores, use eliminação.
  • Se a questão pede só “é invertível?” sem pedir a inversa, o determinante ou mostrar que \ker(P)=\{0\} é suficiente e normalmente mais rápido.
  • Se der para ver imediatamente que há uma combinação linear não-trivial de colunas que dá zero, então não é invertível — no contrário, se conseguir provar independência, então é invertível.
  • Anote claramente cada operação em Gauss–Jordan: o examinador quer ver o raciocínio.

Passo 9

Resumo final do raciocínio que você deve escrever numa prova caso lhe digam apenas “Resposta: Sim” e peça justificativa: apresentar um dos argumentos válidos acima. Exemplos de redação curta para a prova:
  • “Calculei \det(P)=\dots\neq0. Portanto P é invertível.” — (se puder calcular o determinante).
  • “Resolvi Px=0 e a única solução é x=0. Logo \ker(P)=\{0\} e P é invertível.” — (se fez eliminação e obteve pivôs em todas as linhas).
  • “Consegui reduzir \bigl[P\mid I\bigr] a \bigl[I\mid Q\bigr] por operações elementares; logo Q=P^{-1} e P é invertível.” — (se fez Gauss–Jordan).

Resposta

Sim.

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