A matriz
é invertível? Resposta: Sim.
Passo 1
O que o enunciado pergunta: “A matriz
é invertível?”
Informações dadas no enunciado: apenas a indicação de resposta — “Resposta: Sim.” Não foi fornecida a matriz (ou seus elementos), nem uma figura ou outra informação numérica sobre
.
Informações dadas no enunciado: apenas a indicação de resposta — “Resposta: Sim.” Não foi fornecida a matriz
Passo 2
Posso confirmar que a resposta afirmativa é plausível, mas NÃO tenho como verificar diretamente se a matriz
é invertível porque os elementos de
não foram fornecidos. Como não há a matriz, não é possível calcular determinante, faze r
eliminação, ou checar autovalores numericamente.
Vou então ensinar passo a passo os métodos que você deve usar na prova para justificar com certeza que uma matriz quadrada é invertível — assim, se no exame a resposta for “Sim”, você saberá como provar e calcular a inversa se for pedido.
Vou então ensinar passo a passo os métodos que você deve usar na prova para justificar com certeza que uma matriz quadrada
Passo 3
Critério básico: determinante.
Teoria curta e útil: para uma matriz quadrada a matriz é invertível sse o determinante é diferente de zero. Em símbolos:
Teoria curta e útil: para uma matriz quadrada
O que é
? É uma função que associa a cada matriz um número (dependendo dos elementos). Para matrizes pequenas há fórmulas fáceis: para uma matriz
,
Exemplo prático (modelo de como fazer na prova): tome
Calcule
logo
é invertível. Na prova escreva: “determinante igual a
, portanto matriz invertível”.]
Passo 4
Como calcular o inverso de
rapidamente (útil se pedirem a inversa): para
com
,
No exemplo anterior, como
,
Mostre passo a passo para o examinador: calcule o determinante, substitua na fórmula, escreva a matriz inversa.]
Passo 5
Método prático para
: eliminação de Gauss–Jordan (algoritmo para provar invertibilidade e obter a inversa).
Ideia: pegue a matriz e forme a matriz aumentada
(onde
é a identidade
). Faça operações elementares por linhas até reduzir a parte da esquerda à identidade. Se for possível transformar a parte esquerda em
, então a parte direita acaba sendo
; se fica impossível (alguma linha toda zero aparece antes de chegar em
), então
não é invertível.
Exemplo curto com o anterior (mostrando os passos que você pode escrever na prova):
Ideia: pegue a matriz
Exemplo curto com o
Comece com
Faça
:
Faça
:
Faça
e por fim
:
A parte direita é exatamente
. Na prova, escreva cada operação claramente para justificar.]
Passo 6
Critério de posto (rank) e independência linear — quando usar em provas teóricas.
Fato importante: para uma matriz quadrada de ordem
,
Fato importante: para uma matriz quadrada
Significado das palavras:
-
é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. -
(núcleo) é o conjunto de vetores tais que . Se só o vetor zero satisfaz , o núcleo é trivial e é invertível.
Na prova: se você mostrar que as colunas (ou linhas) são linearmente independentes, então já provou invertibilidade. Um jeito prático é resolver o sistema homogêneo; se só a solução for , então invertível.
Passo 7
Critério via autovalores (quando for conveniente): se
não é autovalor de
(ou seja, o polinômio característico não tem raiz
), então
é invertível. Em símbolos:
Na prática isto significa: calcule o polinômio
; se
não for raiz, então
. Esse critério é útil em questões teóricas envolvendo autovalores.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (táticas):
- Se
calcule o determinante diretamente (fórmula rápida). - Se
experimente a regra de Sarrus ou eliminação; para matrizes maiores, use eliminação. - Se a questão pede só “é invertível?” sem pedir a inversa, o determinante ou mostrar que
é suficiente e normalmente mais rápido. - Se der para ver imediatamente que há uma combinação linear não-trivial de colunas que dá zero, então não é invertível — no contrário, se conseguir provar independência, então é invertível.
- Anote claramente cada operação em Gauss–Jordan: o examinador quer ver o raciocínio.
Passo 9
Resumo final do raciocínio que você deve escrever numa prova caso lhe digam apenas “Resposta: Sim” e peça justificativa: apresentar um dos argumentos válidos acima. Exemplos de redação curta para a prova:
- “Calculei
. Portanto é invertível.” — (se puder calcular o determinante). - “Resolvi
e a única solução é . Logo e é invertível.” — (se fez eliminação e obteve pivôs em todas as linhas). - “Consegui reduzir
a por operações elementares; logo e é invertível.” — (se fez Gauss–Jordan).
Resposta
Sim.