Calcule os determinantes das matrizes abaixo via expansão de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando a expansão de Laplace. Para isso, precisamos entender um pouco sobre determinantes e como a expansão de Laplace funciona. Vamos seguir passo a passo para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes maiores que 2x2, uma maneira de calcular o determinante é usando a expansão de Laplace, que envolve calcular menores e cofatores.
Passo 3
A expansão de Laplace consiste em escolher uma linha ou coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores. É mais fácil escolher uma linha ou coluna com zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando para a nossa matriz:
Percebo que a terceira coluna tem dois zeros, então vamos expandir ao longo dela para facilitar.
Passo 4
A terceira coluna da matriz é: 1, 0, 0, -4. Vamos escrever a fórmula da expansão de Laplace para essa coluna:
det(A) = a13C13 + a23C23 + a33C33 + a43C43
onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.
Passo 5
Vamos identificar os elementos e seus cofatores na terceira coluna:
a13 = 1
a23 = 0
a33 = 0
a43 = -4
Como os termos a23 e a33 são zeros, eles não contribuem para o determinante. Portanto, só precisamos calcular os cofatores C13 e C43 .
Passo 6
Primeiro, calculamos o cofator C13 . O cofator é dado por (-1)^i+j vezes o determinante do menor obtido removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna. Para C13 :