Calcule os determinantes das matrizes abaixo via expansão de Laplace.
[rrrr3 & -2 & 1 & 6 5 & 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 & 0 7 & 2 & -4 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando a expansão de Laplace. Para isso, precisamos entender um pouco sobre determinantes e como a expansão de Laplace funciona. Vamos seguir passo a passo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes maiores que 2x2, uma maneira de calcular o determinante é usando a expansão de Laplace, que envolve calcular menores e cofatores.

Passo 3

A expansão de Laplace consiste em escolher uma linha ou coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores. É mais fácil escolher uma linha ou coluna com zeros, pois isso simplifica os cálculos. Olhando para a nossa matriz:
3 & -2 & 1 & 6 5 & 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 & 0 7 & 2 & -4 & 3
Percebo que a terceira coluna tem dois zeros, então vamos expandir ao longo dela para facilitar.

Passo 4

A terceira coluna da matriz é: 1, 0, 0, -4. Vamos escrever a fórmula da expansão de Laplace para essa coluna:
det(A) = a13C13 + a23C23 + a33C33 + a43C43
onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Vamos identificar os elementos e seus cofatores na terceira coluna:
  • a13 = 1
  • a23 = 0
  • a33 = 0
  • a43 = -4
Como os termos a23 e a33 são zeros, eles não contribuem para o determinante. Portanto, só precisamos calcular os cofatores C13 e C43 .

Passo 6

Primeiro, calculamos o cofator C13 . O cofator é dado por (-1)^i+j vezes o determinante do menor obtido removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna. Para C13 :
C13 = (-1)^1+3 cdot det 5 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 7 & 2 & 3 = (-1)^4 cdot det 5 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 7 & 2 & 3 = 1 cdot det(M)

Passo 7

Agora, calculamos o determinante do menor M :
M = 5 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 7 & 2 & 3
Vamos usar a regra de Sarrus ou expansão de Laplace novamente. Vamos expandir pela segunda coluna, que tem um zero:
det(M) = 0 cdot C12 - 0 cdot C22 + 2 cdot C32
Só o último termo contribui:
C32 = (-1)^3+2 cdot det 5 & -1 -1 & 0 = (-1)^5 cdot (5 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = -1 cdot (0 - 1) = 1
Portanto,
det(M) = 2 cdot 1 = 2
Logo,
C13 = 1 cdot 2 = 2

Passo 8

Agora, vamos calcular o cofator C43 :
C43 = (-1)^4+3 cdot det 3 & -2 & 6 5 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 = (-1)^7 cdot det(N) = -1 cdot det(N)
onde N é a submatriz:
N = 3 & -2 & 6 5 & 0 & -1 -1 & 0 & 0

Passo 9

Vamos calcular det(N) . Podemos expandir pela segunda coluna, que tem zeros:
det(N) = -2 cdot C12 + 0 cdot C22 + 0 cdot C32
Só o primeiro termo contribui:
C12 = (-1)^1+2 cdot det 5 & -1 -1 & 0 = (-1)^3 cdot (5 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = -1 cdot (0 - 1) = 1
Então,
det(N) = -2 cdot 1 = -2
Portanto,
C43 = -1 cdot (-2) = 2

Passo 10

Voltando à expansão inicial, temos:
det(A) = a13C13 + a43C43 = 1 cdot 2 + (-4) cdot 2 = 2 - 8 = -6

Resposta

O determinante da matriz é -6.

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