Prove que, se A, B e C são matrizes quadradas, então
ll A & 0 C & B

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para blocos quadrados AinR^ptimes p, BinR^qtimes q e um bloco qualquer CinR^qtimes p, vale
det A & 0 C & B ;=; (det A),(det B)
O conteúdo-chave é a definição de determinante via a soma de permutações (fórmula de Leibniz) e o fato de que o bloco nulo obriga certas somas a zerar.

Passo 2

Denotemos e chame de a matriz em blocos
Pela fórmula de Leibniz,
onde é o elemento de .

Passo 3

Observe que, se alguma permutação envia um índice para uma coluna , então porque o bloco superior direito de é nulo. Logo, só contribuem para a soma aquelas que mandam
Tais se escrevem como produto de uma permutação (atuando em ) e de uma permutação (atuando em ). Além disso .

Passo 4

Para cada par conforme acima,
onde são entradas de e entranhas de . Assim a soma sobre tais fatora-se em produto de duas somas:

Passo 5

Por definição das fórmulas de Leibniz para determinantes, as duas somas acima são exatamente det A e det B. Portanto
det M = (det A),(det B)

Resposta

det A & 0 C & B ;=; (det A),(det B)

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