Prove que, se
e
são matrizes quadradas, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para blocos quadrados
,
e um bloco qualquer
, vale
O conteúdo-chave é a definição de determinante via a soma de permutações (fórmula de Leibniz) e o fato de que o bloco nulo obriga certas somas a zerar.
Passo 2
Denotemos
e chame de
a matriz em blocos
Pela fórmula de Leibniz,
onde
é o elemento
de
.
Passo 3
Observe que, se alguma permutação
envia um índice
para uma coluna
, então
porque o bloco superior direito de
é nulo. Logo, só contribuem para a soma aquelas
que mandam
Tais
se escrevem como produto de uma permutação
(atuando em
) e de uma permutação
(atuando em
). Além disso .
Passo 4
Para cada par
conforme acima,
onde
são entradas de
e
entranhas de
. Assim a soma sobre tais
fatora-se em produto de duas somas:
Passo 5
Por definição das fórmulas de Leibniz para determinantes, as duas somas acima são exatamente
e
. Portanto