Calcule os determinantes das matrizes abaixo via expansão de Laplace.
[rrrr1 & 5 & 1 & 5 -3 & 4 & -3 & 4 2 & -6 & 2 & -6 8 & 9 & 7 & 10]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = 1 & 5 & 1 & 5 -3 & 4 & -3 & 4 2 & -6 & 2 & -6 8 & 9 & 7 & 10
usando expansão de Laplace. O conteúdo necessário é a definição de cofator e menor complementar.

Passo 2

Vamos expandir pela primeira linha. A fórmula geral é
det(A) ;=;sumj=1^4(-1)^1+j,a1j,det(M1j)
Aqui a1j são os elementos da primeira linha e M1j os menores obtidos ao eliminar a linha 1 e a coluna j.

Passo 3

Os menores 3times 3 são:
M11 = 4 & -3 & 4 -6 & 2 & -6 9 & 7 & 10 , M12 = -3 & -3 & 4 2 & 2 & -6 8 & 7 & 10 ,
M13 = -3 & 4 & 4 2 & -6 & -6 8 & 9 & 10 , M14 = -3 & 4 & -3 2 & -6 & 2 8 & 9 & 7

Passo 4

Calculamos det(M11) e det(M12) por regra de Sarrus ou expansão de 3times 3:
det(M11) =4,(2cdot10 - (-6)cdot7);-;(-3),((-6)cdot10 - (-6)cdot9);+;4,((-6)cdot7 - 2cdot9) =-10,
det(M12) =-3,(2cdot10 - (-6)cdot7);-;(-3),(2cdot10 - (-6)cdot8);+;4,(2cdot7 - 2cdot8) =10

Passo 5

Agora det(M13) e det(M14):
det(M13) =-3,((-6)cdot10 - (-6)cdot9);-;4,(2cdot10 - (-6)cdot8);+;4,(2cdot9 - (-6)cdot8) =10,
det(M14) =-3,((-6)cdot7 - 2cdot9);-;4,(2cdot7 - 2cdot8);+;(-3),(2cdot9 - (-6)cdot8) =-10

Passo 6

Substituindo na expansão de Laplace:
det(A) =1cdot(-10);-;5cdot10;+;1cdot10;-;5cdot(-10) =-10 -50 +10 +50 =0

Resposta

0

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