Sejam e duas bases de .
Ache a matriz mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mudança de base no espaço bidimensional, . A gente tem duas bases diferentes, e , e precisamos encontrar a matriz de mudança de base de para , que é representada por . Para isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra e organizar esses coeficientes na matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas bases que foram fornecidas:
A base é composta pelos vetores e . Já a base tem os vetores e .
Nosso objetivo é expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de . Isso significa encontrar coeficientes e tais que:
Passo 3
Vamos fazer isso para cada vetor de [\mathbb{B}_2).
Para :
Temos:
Isso se traduz em:
Então, os coeficientes são .
Para :
De maneira semelhante:
Isso dá:
Portanto, aqui .
Passo 4
Agora que temos os coeficientes para ambos os vetores de B2 em termos de B1, podemos construir a matriz de mudança de base [I]B2^B1.
Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes encontrados para v1 e v2: