Sejam B1=(0,1),(1,0) e B2=(raiz7,-1),(raiz7, 1) duas bases de R^2.
Ache a matriz mudança de base [I]B2^B1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mudança de base no espaço bidimensional, R^2. A gente tem duas bases diferentes, B1 e B2, e precisamos encontrar a matriz de mudança de base de B2 para B1, que é representada por [I]B2^B1. Para isso, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra e organizar esses coeficientes na matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas bases que foram fornecidas:
  • B1 = (0,1), (1,0)
  • B2 = (raiz7, -1), (raiz7, 1)
A base B1 é composta pelos vetores e1 = (0,1) e e2 = (1,0). Já a base B2 tem os vetores v1 = (raiz7, -1) e v2 = (raiz7, 1).
Nosso objetivo é expressar cada vetor de B2 como uma combinação linear dos vetores de B1. Isso significa encontrar coeficientes a e b tais que:
v = a cdot e1 + b cdot e2

Passo 3

Vamos fazer isso para cada vetor de [\mathbb{B}_2).
Para :
Temos:
Isso se traduz em:
Então, os coeficientes são .
Para :
De maneira semelhante:
Isso dá:
Portanto, aqui .

Passo 4

Agora que temos os coeficientes para ambos os vetores de B2 em termos de B1, podemos construir a matriz de mudança de base [I]B2^B1.
Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes encontrados para v1 e v2:
[I]B2^B1 = a1 & a2 b1 & b2 = -1 & 1 raiz7 & raiz7

Resposta

A matriz de mudança de base [I]B2^B1 é:
[I]B2^B1 = -1 & 1 raiz7 & raiz7

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