Sejam e duas bases de .
Quais são as coordenadas do vetor em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta nos dá duas bases de , que são como conjuntos de vetores que usamos para representar qualquer vetor nesse espaço. A base é e a base é . A gente precisa encontrar as coordenadas do vetor em relação à base . Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especialmente resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de na base . Queremos encontrar dois números, digamos e , tais que:
Isso significa que estamos escrevendo como uma combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Vamos expandir essa expressão:
Isso dá duas equações, uma para cada componente:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a primeira equação. Podemos fatorar :
Então, temos:
Passo 5
Na segunda equação, temos:
Podemos rearranjar isso para:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.
Passo 7
Vamos somar as duas equações para eliminar a:
(a + b) + (-a + b) = -3raiz7 + 2
Isso simplifica para:
2b = 2 - 3raiz7
Passo 8
Agora, resolvemos para b:
b = 2 - 3raiz72 = 1 - 32raiz7
Passo 9
Com o valor de b, podemos encontrar a usando a primeira equação:
a + (1 - 32raiz7) = -3raiz7
Resolvendo para a:
a = -3raiz7 - 1 + 32raiz7 = -1 - 32raiz7
Resposta
As coordenadas do vetor v = (-3, 2) em relação à base B2 são: