Sejam B1=(0,1),(1,0) e B2=(raiz7,-1),(raiz7, 1) duas bases de R^2.
Quais são as coordenadas do vetor v=(-3,2) em relação à base B2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta nos dá duas bases de R^2, que são como conjuntos de vetores que usamos para representar qualquer vetor nesse espaço. A base B1 é (0,1),(1,0) e a base B2 é (raiz7,-1),(raiz7,1). A gente precisa encontrar as coordenadas do vetor v = (-3, 2) em relação à base B2. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especialmente resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de v na base B2. Queremos encontrar dois números, digamos a e b, tais que:
v = a cdot (raiz7, -1) + b cdot (raiz7, 1)
Isso significa que estamos escrevendo v como uma combinação linear dos vetores da base B2.

Passo 3

Vamos expandir essa expressão:
(-3, 2) = a cdot (raiz7, -1) + b cdot (raiz7, 1)
Isso dá duas equações, uma para cada componente:
  1. Para a primeira coordenada:
-3 = a cdot raiz7 + b cdot raiz7
  1. Para a segunda coordenada:
2 = a cdot (-1) + b cdot 1

Passo 4

Agora, vamos simplificar a primeira equação. Podemos fatorar raiz7:
-3 = raiz7 cdot (a + b)
Então, temos:
a + b = -3raiz7

Passo 5

Na segunda equação, temos:
2 = -a + b
Podemos rearranjar isso para:
-a + b = 2

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
a + b = -3raiz7 -a + b = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.

Passo 7

Vamos somar as duas equações para eliminar a:
(a + b) + (-a + b) = -3raiz7 + 2
Isso simplifica para:
2b = 2 - 3raiz7

Passo 8

Agora, resolvemos para b:
b = 2 - 3raiz72 = 1 - 32raiz7

Passo 9

Com o valor de b, podemos encontrar a usando a primeira equação:
a + (1 - 32raiz7) = -3raiz7
Resolvendo para a:
a = -3raiz7 - 1 + 32raiz7 = -1 - 32raiz7

Resposta

As coordenadas do vetor v = (-3, 2) em relação à base B2 são:
( -1 - 32raiz7, 1 - 32raiz7 )

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