Calcule os determinantes das matrizes abaixo via redução à forma triangular ou citando um resultado particular.
[rrr4 & -3 & 5 5 & 2 & 0 2 & 0 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 4 & -3 & 5 5 & 2 & 0 2 & 0 & 4
usando redução à forma triangular. Vamos usar operações elementares de linha que não alteram o determinante (somar múltiplos de uma linha a outra) e lembrar que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, eliminamos os elementos abaixo de a11=4.
  • Fazemos L2 >=ts L2 - tfrac54L1.
  • Fazemos L3 >=ts L3 - tfrac12L1.
    Calculando:
L2: (5,,2,,0) - tfrac54(4,,-3,,5) = l(0,;2+tfrac154,;0-tfrac254r) = l(0,;tfrac234,;-tfrac254r),
L3: (2,,0,,4) - tfrac12(4,,-3,,5) = (0,;0+tfrac32,;4-tfrac52) = l(0,;tfrac32,;tfrac32r)
Agora a matriz fica
4 & -3 & 5 0 & tfrac234 & -tfrac254 0 & tfrac32 & tfrac32

Passo 3

Em seguida, eliminamos o elemento a32=tfrac32 usando o pivô a22=tfrac234:
L3 >=ts L3 - tfrac32tfrac234,L2 = L3 - 3/223/4,L2 = L3 - 623,L2
No novo L3 o segundo elemento zera e o terceiro vale
tfrac32 - 623l(-tfrac254r) = tfrac32 + 15092 = tfrac6946 + tfrac7546 = tfrac14446 = tfrac7223
Assim obtemos a forma triangular
4 & * & * 0 & tfrac234 & * 0 & 0 & tfrac7223

Passo 4

Como usamos apenas operações do tipo Li >=ts Li + c,Lj, o determinante não mudou durante a redução. Na forma triangular,
det(A) = 4 times 234 times 7223 = 72

Resposta

det(A)=72

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