Calcule os determinantes das matrizes abaixo via redução à forma triangular ou citando um resultado particular.
[rrrr4 & 2 & 3 & -4 3 & -2 & 1 & 5 -2 & 0 & 1 & -3 8 & -2 & 6 & 4]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 4 & 2 & 3 & -4 3 & -2 & 1 & 5 -2 & 0 & 1 & -3 8 & -2 & 6 & 4
e pede det(A). Vamos usar eliminação de Gauss para deixá-la em forma triangular superior, lembrando que operações do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” não alteram o determinante.

Passo 2

Zeramos as entradas abaixo de a11=4 em cada coluna 1:
L2 L2 - tfrac34,L1,
L3 L3 + tfrac12,L1,
L4 L4 - 2,L1.
O resultado é
4 & 2 & 3 & -4 [6pt] 0 & -tfrac72 & -tfrac54 & 8 [3pt] 0 & 1 & tfrac52 & -5 [3pt] 0 & -6 & 0 & 12 !,
sem alterar det(A).]

Passo 3

Agora usamos o pivô a22=-tfrac72 para zerar abaixo:
Multipl. para L3: k = tfrac1-tfrac72=-tfrac27, então
L3 L3 - k,L2 = L3 + tfrac27,L2.
Multipl. para L4: k = tfrac-6-tfrac72=tfrac127, então
L4 L4 - tfrac127,L2.
Fica
4 & 2 & 3 & -4 [6pt] 0 & -tfrac72 & -tfrac54 & 8 [3pt] 0 & 0 & tfrac157 & -tfrac197 [3pt] 0 & 0 & tfrac157 & -tfrac127 ! ]

Passo 4

Por fim, pivô a33=tfrac157. Zeramos abaixo com
L4 L4 - l(tfrac157/tfrac157r),L3 = L4 - L3,
obtendo
4 & 2 & 3 & -4 [3pt] 0 & -tfrac72 & -tfrac54 & 8 [3pt] 0 & 0 & tfrac157 & -tfrac197 [3pt] 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Com a matriz triangular,
det(A) = 4 times l(-tfrac72r) times tfrac157 times 1 = 4 timesl(-tfrac72r)times tfrac157 = -30

Resposta

det(A) = -30

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