Calcule os determinantes das matrizes:
;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a matriz
. - Pede o determinante dessa matriz, ou seja, um único valor numérico/formulado em termos de
.]
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (explicada devagar):
- Para uma matriz
genérica , o determinante é
Aqui
é o elemento da primeira linha e primeira coluna (canto superior esquerdo),
é o da primeira linha e segunda coluna (canto superior direito),
é o da segunda linha e primeira coluna e
o da segunda linha e segunda coluna. Essa fórmula vem da definição usual do determinante para matrizes
.]
Passo 3
Identificando os elementos da matriz do enunciado com
:
Aplicando a fórmula do determinante:
Passo 4
Expandindo e simplificando termo a termo (sem pular etapas):
Primeiro multiplicamos cada produto:
Primeiro multiplicamos cada produto:
Subtraindo o segundo do primeiro:
Agora cancelamos os termos iguais (
e
aparecem em ambos):
Agrupando para fatorar:
Observando
temos
Passo 5
Um jeito mais rápido (truque prático útil na prova) que dá insight:
- Operação de colunas: substituir a segunda coluna por (segunda coluna menos primeira coluna) não altera o determinante (essa operação é somar a uma coluna um múltiplo da outra).
- Fazendo isso na matriz dada, a segunda coluna fica
. A matriz transforma-se em
- Calculando o determinante agora:
mesma resposta, mas com menos conta algebraica — bom para prova quando se reconhece o padrão.]