Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{ll}a+b & a+c \\\ d+b & d+c\end{array}\right);

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a matriz \displaystyle \begin{pmatrix}a+b & a+c \\[4pt] d+b & d+c\end{pmatrix}.
  • Pede o determinante dessa matriz, ou seja, um único valor numérico/formulado em termos de a,b,c,d.]

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (explicada devagar):
  • Para uma matriz 2\times2 genérica \displaystyle \begin{pmatrix}p & q \\[4pt] r & s\end{pmatrix}, o determinante é
\det = p s - q r.
Aqui p é o elemento da primeira linha e primeira coluna (canto superior esquerdo), q é o da primeira linha e segunda coluna (canto superior direito), r é o da segunda linha e primeira coluna e s o da segunda linha e segunda coluna. Essa fórmula vem da definição usual do determinante para matrizes 2\times2.]

Passo 3

Identificando os elementos da matriz do enunciado com p,q,r,s:
p = a+b,\qquad q = a+c,\qquad r = d+b,\qquad s = d+c.
Aplicando a fórmula do determinante:
\det = (a+b)(d+c) - (a+c)(d+b).

Passo 4

Expandindo e simplificando termo a termo (sem pular etapas):
Primeiro multiplicamos cada produto:
(a+b)(d+c)=ad+ac+bd+bc,
(a+c)(d+b)=ad+ab+cd+bc.
Subtraindo o segundo do primeiro:
\det = \big(ad+ac+bd+bc\big) - \big(ad+ab+cd+bc\big).
Agora cancelamos os termos iguais ( ad e bc aparecem em ambos):
\det = ac + bd - ab - cd.
Agrupando para fatorar:
\det = (ac-ab) + (bd-cd) = a(c-b) + d(b-c).
Observando b-c=-(c-b) temos
\det = a(c-b) - d(c-b) = (a-d)(c-b).

Passo 5

Um jeito mais rápido (truque prático útil na prova) que dá insight:
  • Operação de colunas: substituir a segunda coluna por (segunda coluna menos primeira coluna) não altera o determinante (essa operação é somar a uma coluna um múltiplo da outra).
  • Fazendo isso na matriz dada, a segunda coluna fica \begin{pmatrix}c-b\\[4pt] c-b\end{pmatrix}. A matriz transforma-se em
\begin{pmatrix}a+b & c-b \\[4pt] d+b & c-b\end{pmatrix}.
  • Calculando o determinante agora:
\det = (a+b)(c-b) - (d+b)(c-b) = \big((a+b)-(d+b)\big)(c-b) = (a-d)(c-b),
mesma resposta, mas com menos conta algebraica — bom para prova quando se reconhece o padrão.]

Resposta

(a-d)(c-b)

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