Calcule os determinantes das matrizes: \left(\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 1 & b\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
\begin{pmatrix}1 & a \\[4pt] 1 & b\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A matriz é 2\times2.
Os elementos são os números 1, a, 1 e b dispostos conforme a matriz acima.
A única pergunta é: qual é o determinante dessa matriz?]
Passo 2
Fórmula geral para o determinante de uma matriz 2\times2.
Se tivermos uma matriz genérica
\begin{pmatrix} x & y \\[4pt] z & w \end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det\begin{pmatrix} x & y \\[4pt] z & w \end{pmatrix} = xw - yz.
Explicação da fórmula (passo a passo simples): multiplicam-se os elementos da diagonal principal (x e w) e subtrai-se o produto dos elementos da diagonal secundária (y e z). Cada símbolo representa:
x: elemento da linha 1, coluna 1;
y: elemento da linha 1, coluna 2;
z: elemento da linha 2, coluna 1;
w: elemento da linha 2, coluna 2.
Essa fórmula pode ser vista como a expansão do determinante por cofactores na primeira linha ou como a área orientada do paralelogramo formado pelas colunas da matriz (mas não é preciso internalizar isso agora para fazer os cálculos).]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso concreto.
Identificando os elementos da matriz dada com x,y,z,w:
x = 1,
y = a,
z = 1,
w = b.
Agora calculamos o determinante usando xw-yz:
\det\begin{pmatrix}1 & a \\[4pt] 1 & b\end{pmatrix} = 1\cdot b - a\cdot 1.]
Passo 4
Efetuando a subtração e simplificando.
Continuando o cálculo do passo anterior:
1\cdot b - a\cdot 1 = b - a.
Portanto o determinante é b-a.
Observação útil para a prova: se a=b então b-a=0, o que significa que as colunas da matriz são linearmente dependentes (a segunda coluna é múltipla da primeira), então a matriz é singular (não invertível). Quando precisar de rapidez, para matrizes 2\times2 use sempre a regra “produto da diagonal principal menos produto da diagonal secundária”.