a) Sejam A e B duas matrizes quadradas n \times n. Mostre que (A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.
b) Suponha agora que: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) e verifique que A B \neq B A e conclua que neste caso (A+B)^{2} \neq A^{2}+2 A B+B^{2}.
c) Voltando ao caso a). Mostre que: Se A e B são duas matrizes quadradas n \times n, então (A+B)^{2}= A^{2}+2 A B+B^{2} se e somente se A B=B A.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações fornecidas.
O enunciado tem três partes:
(a) Mostrar que, para quaisquer matrizes quadradas A e B de ordem n,(A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.(b) Dadas as matrizesA=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},verificar que A B \neq B A e, com isso, concluir que neste caso(A+B)^{2}\neq A^{2}+2 A B+B^{2}.(c) Voltar ao caso geral e provar que(A+B)^{2}= A^{2}+2 A B+B^{2}\quad\text{se e somente se}\quad A B=B A.
Informação importante que vamos usar: podemos multiplicar e somar matrizes de ordem n; valem as propriedades distributivas e associativas da multiplicação sobre a soma (isto é, X(Y+Z)=XY+XZ e (X+Y)Z=XZ+YZ para matrizes compatíveis).]
Passo 2
Breve revisão (passo didático) sobre multiplicação de matrizes e distributividade.
Produto de matrizes: se X e Y são matrizes n\times n, o produto XY é outra matriz n\times n cujos elementos são combinações lineares das linhas de X com as colunas de Y. Não vou repetir a fórmula elemento a elemento aqui porque usaremos a propriedade algébrica.
Propriedades que usaremos:
Distributividade à direita: (X+Y)Z = XZ + YZ.
Distributividade à esquerda: X(Y+Z) = XY + XZ.
Associatividade: X(YZ)=(XY)Z.
Observação importante:, em geral, XY\neq YX (multiplicação de matrizes não é comutativa), por isso é preciso cuidado ao “combinar” termos como AB e BA.
Passo 3
Resolução da parte (a): provar a identidade para quaisquer matrizes quadradas A e B.
Começamos por expandir (A+B)^{2} como produto:
(A+B)^{2}=(A+B)(A+B).
Agora aplicamos distributividade à esquerda:
(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B).
Em seguida, expandimos cada um dos dois termos usando distributividade à direita:
A(A+B)=A A + A B = A^{2}+A B,
B(A+B)=B A + B B = B A + B^{2}.
Somando as duas expressões obtemos
(A+B)(A+B) = \big(A^{2}+A B\big) + \big(B A + B^{2}\big).
Agrupando os termos:
(A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.
Comentário didático: essa é a expansão correta; note que aparecem A B e B A separadamente porque, em geral, A B não é igual a B A.
Passo 4
Resolução da parte (b): calcular explicitamente A B e B A para as matrizes dadas e comparar; depois comparar (A+B)^{2} com A^{2}+2 A B+B^{2}.
Primeiro calculamos A B. Usando multiplicação de matrizes:
portanto (A+B)^{2}\neq A^{2}+2 A B+B^{2}, como pedido.]
Passo 5
Resolução da parte (c): provar a equivalência lógica.
Direção 1 (se A B=B A então (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}):
Se A B=B A, então na identidade geral da parte (a)
(A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2},
substituindo B A por A B obtemos
(A+B)^{2}=A^{2}+A B+A B+B^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
Essa direção é direta e usa apenas substituição.
Direção 2 (se (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} então A B=B A):
Partimos da hipótese
(A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
Usando a expansão da parte (a) do lado esquerdo, temos
A^{2}+A B+B A+B^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
Subtraindo A^{2}+B^{2} de ambos os lados (isso é válido matriz a matriz), obtemos
A B+B A = 2 A B.
Rearranjando, subtraindo A B de ambos os lados:
B A = A B.
Logo A B=B A. Isso completa a demonstração da equivalência.
Observação didática: subtrair matrizes e reordenar termos é permitido porque o conjunto das matrizes n\times n forma um espaço vetorial, onde soma e subtração são bem definidas; portanto as operações que fizemos são válidas.
Resposta
(a) (A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.\n(b) A B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}, B A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}, logo A B\neq B A e (A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}.\n(c) (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} se e somente se AB=BA.]