a) Sejam A e B duas matrizes quadradas n \times n. Mostre que (A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.
b) Suponha agora que: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right) e verifique que A B \neq B A e conclua que neste caso (A+B)^{2} \neq A^{2}+2 A B+B^{2}.
c) Voltando ao caso a). Mostre que: Se A e B são duas matrizes quadradas n \times n, então (A+B)^{2}= A^{2}+2 A B+B^{2} se e somente se A B=B A.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações fornecidas.
  • O enunciado tem três partes:
    (a) Mostrar que, para quaisquer matrizes quadradas A e B de ordem n, (A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.(b) Dadas as matrizes A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},verificar que A B \neq B A e, com isso, concluir que neste caso (A+B)^{2}\neq A^{2}+2 A B+B^{2}.(c) Voltar ao caso geral e provar que (A+B)^{2}= A^{2}+2 A B+B^{2}\quad\text{se e somente se}\quad A B=B A.
  • Informação importante que vamos usar: podemos multiplicar e somar matrizes de ordem n; valem as propriedades distributivas e associativas da multiplicação sobre a soma (isto é, X(Y+Z)=XY+XZ e (X+Y)Z=XZ+YZ para matrizes compatíveis).]

Passo 2

Breve revisão (passo didático) sobre multiplicação de matrizes e distributividade.
  • Produto de matrizes: se X e Y são matrizes n\times n, o produto XY é outra matriz n\times n cujos elementos são combinações lineares das linhas de X com as colunas de Y. Não vou repetir a fórmula elemento a elemento aqui porque usaremos a propriedade algébrica.
  • Propriedades que usaremos:
    1. Distributividade à direita: (X+Y)Z = XZ + YZ.
    2. Distributividade à esquerda: X(Y+Z) = XY + XZ.
    3. Associatividade: X(YZ)=(XY)Z.
  • Observação importante:, em geral, XY\neq YX (multiplicação de matrizes não é comutativa), por isso é preciso cuidado ao “combinar” termos como AB e BA.

Passo 3

Resolução da parte (a): provar a identidade para quaisquer matrizes quadradas A e B.
Começamos por expandir (A+B)^{2} como produto:
(A+B)^{2}=(A+B)(A+B).
Agora aplicamos distributividade à esquerda:
(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B).
Em seguida, expandimos cada um dos dois termos usando distributividade à direita:
A(A+B)=A A + A B = A^{2}+A B,
B(A+B)=B A + B B = B A + B^{2}.
Somando as duas expressões obtemos
(A+B)(A+B) = \big(A^{2}+A B\big) + \big(B A + B^{2}\big).
Agrupando os termos:
(A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.
Comentário didático: essa é a expansão correta; note que aparecem A B e B A separadamente porque, em geral, A B não é igual a B A.

Passo 4

Resolução da parte (b): calcular explicitamente A B e B A para as matrizes dadas e comparar; depois comparar (A+B)^{2} com A^{2}+2 A B+B^{2}.
Primeiro calculamos A B. Usando multiplicação de matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Produto A B:
A B = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 1 \\[4pt] 1\cdot 0 + 1\cdot 1 & 1\cdot 1 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.
Agora B A:
B A = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 + 1\cdot 1 & 0\cdot 0 + 1\cdot 1 \\[4pt] 1\cdot 1 + 1\cdot 1 & 1\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 \end{pmatrix}.
Comparando, claramente
A B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},
logo A B \neq B A.
Agora vamos verificar a desigualdade entre (A+B)^{2} e A^{2}+2 A B+B^{2}.
Calculamos A+B:
A+B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Então
(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)= \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+1\cdot2 & 1\cdot1+1\cdot2 \\[4pt] 2\cdot1+2\cdot2 & 2\cdot1+2\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3 \\[4pt] 6 & 6\end{pmatrix}.
Agora A^{2}, B^{2} e 2AB:
A^{2}=A A= \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot1 \\[4pt] 1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},
B^{2}=B B= \begin{pmatrix} 0\cdot0+1\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot1 \\[4pt] 1\cdot0+1\cdot1 & 1\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
2 A B = 2\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Somando:
A^{2}+2 A B+B^{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 5 & 7\end{pmatrix}.
Comparando os dois resultados:
(A+B)^{2}=\begin{pmatrix}3 & 3 \\[4pt] 6 & 6\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A^{2}+2 A B+B^{2}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 5 & 7\end{pmatrix},
portanto (A+B)^{2}\neq A^{2}+2 A B+B^{2}, como pedido.]

Passo 5

Resolução da parte (c): provar a equivalência lógica.
Direção 1 (se A B=B A então (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}):
  • Se A B=B A, então na identidade geral da parte (a)
(A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2},
substituindo B A por A B obtemos
(A+B)^{2}=A^{2}+A B+A B+B^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
Essa direção é direta e usa apenas substituição.
Direção 2 (se (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} então A B=B A):
  • Partimos da hipótese
(A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
Usando a expansão da parte (a) do lado esquerdo, temos
A^{2}+A B+B A+B^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}.
Subtraindo A^{2}+B^{2} de ambos os lados (isso é válido matriz a matriz), obtemos
A B+B A = 2 A B.
Rearranjando, subtraindo A B de ambos os lados:
B A = A B.
Logo A B=B A. Isso completa a demonstração da equivalência.
Observação didática: subtrair matrizes e reordenar termos é permitido porque o conjunto das matrizes n\times n forma um espaço vetorial, onde soma e subtração são bem definidas; portanto as operações que fizemos são válidas.

Resposta

(a) (A+B)^{2}=A^{2}+A B+B A+B^{2}.\n(b) A B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}, B A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}, logo A B\neq B A e (A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}.\n(c) (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} se e somente se AB=BA.]

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