Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(10) \left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 5 \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ -3 & 3 & -9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 5 \\[4pt] 1 & -1 & 3 \\[4pt] -3 & 3 & -9\end{pmatrix}.
Informações dadas (vou listar os elementos para ficar claro):
  • a_{11}=2,\; a_{12}=1,\; a_{13}=5.
  • a_{21}=1,\; a_{22}=-1,\; a_{23}=3.
  • a_{31}=-3,\; a_{32}=3,\; a_{33}=-9.
A tarefa é: calcular \det(A).]

Passo 2

Escolha do método: como é uma matriz 3\times3, o método mais direto e ensinável na prova é a regra de Sarrus. Vou explicar a regra de Sarrus de forma didática.
Regra de Sarrus (para uma matriz genérica 3\times3):
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
então
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Interpretação simples: some os produtos das três diagonais descendentes da esquerda para a direita e subtraia a soma dos produtos das três diagonais ascendentes.]

Passo 3

Aplicando a fórmula de Sarrus com os elementos de A. Primeiro calculo os três produtos positivos:
a_{11}a_{22}a_{33}=2\cdot(-1)\cdot(-9).
Calcule passo a passo:
2\cdot(-1) = -2,\qquad -2\cdot(-9)=18,
logo a_{11}a_{22}a_{33}=18.
Próximo:
a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot 3\cdot(-3).
Calcule:
1\cdot 3 = 3,\qquad 3\cdot(-3)=-9,
logo a_{12}a_{23}a_{31}=-9.
Próximo:
a_{13}a_{21}a_{32}=5\cdot 1\cdot 3.
Calcule:
5\cdot 1 = 5,\qquad 5\cdot 3 = 15,
logo a_{13}a_{21}a_{32}=15.
Agora somo os três resultados positivos:
18 + (-9) + 15 = 18-9+15 = 24.

Passo 4

Agora calculo os três produtos que serão subtraídos (os da soma negativa):
a_{13}a_{22}a_{31}=5\cdot(-1)\cdot(-3).
Calcule:
5\cdot(-1)=-5,\qquad -5\cdot(-3)=15,
logo a_{13}a_{22}a_{31}=15.
Próximo:
a_{11}a_{23}a_{32}=2\cdot 3\cdot 3.
Calcule:
2\cdot 3=6,\qquad 6\cdot 3=18,
logo a_{11}a_{23}a_{32}=18.
Próximo:
a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot 1\cdot(-9).
Calcule:
1\cdot 1=1,\qquad 1\cdot(-9)=-9,
logo a_{12}a_{21}a_{33}=-9.
Agora somo esses três valores:
15 + 18 + (-9) = 15+18-9 = 24.

Passo 5

Determinante pela regra de Sarrus é a diferença entre a soma dos produtos positivos e a soma dos produtos negativos:
\det(A)=24-24=0.
Interpretação e verificação rápida (didática): \det(A)=0 significa que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Podemos verificar uma relação simples entre linhas: observe a segunda linha (1,\,-1,\,3) e a terceira linha (-3,\,3,\,-9). Temos
\text{linha}_3 = -3\cdot\text{linha}_2,
pois -3\cdot(1,-1,3)=(-3,3,-9). Essa dependência linear entre linhas implica determinante zero — confirmação coerente do cálculo.

Resposta

\;0

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