Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(11) \left[\begin{array}{llll}2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o problema pede: calcular o determinante da matriz 4\times4
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: todos os elementos da matriz estão explícitos (listei-os acima). O objetivo é encontrar \det(A).]

Passo 2

Estratégia escolhida e por quê: vou usar a expansão por cofatores (expansão de Laplace) ao longo da primeira coluna. Razões: a primeira coluna contém um zero ( a_{31}=0), o que simplifica a expansão porque um termo some. A expansão por cofatores é uma técnica básica e direta para entender passo a passo como o determinante é construído.
Relembrando a fórmula da expansão pela primeira coluna: se a_{i1} são os elementos da primeira coluna e M_{i1} os menores correspondentes, então
\det(A)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1}a_{i1}\det(M_{i1}).
Aqui M_{i1} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna 1. O sinal (-1)^{i+1} é o cofator.

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa matriz: os elementos da primeira coluna são a_{11}=2, a_{21}=1, a_{31}=0, a_{41}=1. Portanto
\det(A)=(-1)^{1+1}\,2\det(M_{11})+(-1)^{2+1}\,1\det(M_{21})+(-1)^{3+1}\,0\det(M_{31})+(-1)^{4+1}\,1\det(M_{41}).
Simplificando os sinais e removendo o termo com zero:
\det(A)=2\det(M_{11})-\det(M_{21})-\det(M_{41}).

Passo 4

Agora vamos montar explicitamente os menores 3\times3 (peguei seus elementos diretamente da matriz A).
Removendo linha 1 e coluna 1 obtemos
M_{11}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\[4pt] 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Removendo linha 2 e coluna 1 obtemos
M_{21}=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Removendo linha 4 e coluna 1 obtemos
M_{41}=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5\\[4pt] 2 & 3 & 4\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Fórmula prática para determinante 3\times3: se
B=\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix},
então
\det(B)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Vou aplicar essa fórmula aos três menores.

Passo 6

Cálculo de \det(M_{11}). Para
M_{11}=\begin{pmatrix}2 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix},
identificando a=2, b=3, c=4, d=1, e=2, f=3, g=0, h=1, i=2, temos
ei-fh=2\cdot2-3\cdot1=4-3=1,
di-fg=1\cdot2-3\cdot0=2-0=2,
dh-eg=1\cdot1-2\cdot0=1-0=1.
Portanto
\det(M_{11})=2\cdot1-3\cdot2+4\cdot1=2-6+4=0.

Passo 7

Cálculo de \det(M_{21}). Para
M_{21}=\begin{pmatrix}3 & 4 & 5\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix},
identificando a=3, b=4, c=5, os subdeterminantes são os mesmos padrões que no caso anterior:
ei-fh=2\cdot2-3\cdot1=1,
di-fg=1\cdot2-3\cdot0=2,
dh-eg=1\cdot1-2\cdot0=1.
Logo
\det(M_{21})=3\cdot1-4\cdot2+5\cdot1=3-8+5=0.

Passo 8

Cálculo de \det(M_{41}). Para
M_{41}=\begin{pmatrix}3 & 4 & 5\\\\ 2 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix},
identificando a=3, b=4, c=5, d=2, e=3, f=4, g=1, h=2, i=3, obtemos
ei-fh=3\cdot3-4\cdot2=9-8=1,
di-fg=2\cdot3-4\cdot1=6-4=2,
dh-eg=2\cdot2-3\cdot1=4-3=1.
Portanto
\det(M_{41})=3\cdot1-4\cdot2+5\cdot1=3-8+5=0.

Passo 9

Voltando à fórmula da expansão:
\det(A)=2\det(M_{11})-\det(M_{21})-\det(M_{41})=2\cdot0-0-0=0.
Interpretação didática: o determinante zero significa que as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes. Uma verificação rápida dessa dependência: observe que
\text{linha}_1-2\cdot\text{linha}_2+\text{linha}_3=(2,3,4,5)-2(1,2,3,4)+(0,1,2,3)=(0,0,0,0).
Isso confirma que há uma relação linear não trivial entre as linhas, portanto a matriz não tem posto completo e \det(A)=0.

Resposta

0

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