Vou lembrar propriedades úteis de determinantes que vou usar (explicadas de forma prática):
Soma de múltiplo de uma linha a outra linha: se substituir uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha, o determinante não muda. Em símbolos: trocar R_i por R_i + kR_j (com k qualquer) preserva \det.
Troca de duas linhas: multiplica \det por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k: multiplica o determinante por k.
Expansão por cofatores: ao ter zeros numa coluna ou linha, é conveniente usar a expansão nessa coluna/linha. Para a primeira linha/coluna, por exemplo, \det(A)=\sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}, onde M_{1j} é o determinante do menor obtido removendo linha 1 e coluna j.
Estratégia prática: usar operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” para criar zeros na primeira coluna abaixo de a_{11}=1. Como essas operações não mudam o determinante, posso depois fazer expansão pela primeira coluna com menos trabalho.
Passo 3
Vou zerar os elementos da primeira coluna nas linhas 2,3,4 usando a primeira linha R_1. Faço as operações (cada operação preserva \det):