Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(12) \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -3 & 4 \\\\ -4 & 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 0 & -3 \\\\ 2 & 0 & -2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] -4 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 0 & -3\\[4pt] 2 & 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é quadrada de ordem 4.
  • O objetivo é encontrar \det(A).]

Passo 2

Vou lembrar propriedades úteis de determinantes que vou usar (explicadas de forma prática):
  • Soma de múltiplo de uma linha a outra linha: se substituir uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha, o determinante não muda. Em símbolos: trocar R_i por R_i + kR_j (com k qualquer) preserva \det.
  • Troca de duas linhas: multiplica \det por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k: multiplica o determinante por k.
  • Expansão por cofatores: ao ter zeros numa coluna ou linha, é conveniente usar a expansão nessa coluna/linha. Para a primeira linha/coluna, por exemplo, \det(A)=\sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}, onde M_{1j} é o determinante do menor obtido removendo linha 1 e coluna j.
Estratégia prática: usar operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” para criar zeros na primeira coluna abaixo de a_{11}=1. Como essas operações não mudam o determinante, posso depois fazer expansão pela primeira coluna com menos trabalho.

Passo 3

Vou zerar os elementos da primeira coluna nas linhas 2,3,4 usando a primeira linha R_1. Faço as operações (cada operação preserva \det):
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 + 4R_1,\\[4pt] R_3 &\leftarrow R_3 - R_1,\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4 - 2R_1. \end{aligned}
Calculo cada nova linha:
  • R_2 + 4R_1 = (-4,2,1,3) + 4(1,2,-3,4) = (0,\,2+8,\,1-12,\,3+16) = (0,\,10,\,-11,\,19).
  • R_3 - R_1 = (1,0,0,-3) - (1,2,-3,4) = (0,\,-2,\,3,\,-7).
  • R_4 - 2R_1 = (2,0,-2,3) - 2(1,2,-3,4) = (0,\,-4,\,4,\,-5).
A matriz transformada (com mesmo determinante) fica
A'=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & 10 & -11 & 19\\[4pt] 0 & -2 & 3 & -7\\[4pt] 0 & -4 & 4 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora expandimos o determinante por cofator ao longo da primeira coluna (porque nela só resta o primeiro elemento não nulo). Pela fórmula de expansão:
\det(A)=1\cdot\det(B),
onde B é o menor 3\times3 obtido removendo a linha 1 e a coluna 1:
B=\begin{pmatrix} 10 & -11 & 19\\[4pt] -2 & 3 & -7\\[4pt] -4 & 4 & -5 \end{pmatrix}.
Agora calculo \det(B). Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
vale
\det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg).
Aplico isso a B com a=10, b=-11, c=19, d=-2, e=3, f=-7, g=-4, h=4, i=-5.
Calculemos cada termo com calma:
  • Primeiro termo:
a(ei-fh)=10\big(3\cdot(-5) - (-7)\cdot 4\big)=10\big(-15 -(-28)\big)=10(13)=130.
  • Segundo termo:
-b(di-fg) = -(-11)\big((-2)\cdot(-5) - (-7)\cdot(-4)\big)=11\big(10 - 28\big)=11(-18)=-198.
(Observação: o sinal já vem da fórmula; fiz a conta explícita.)
  • Terceiro termo:
c(dh-eg)=19\big((-2)\cdot 4 - 3\cdot(-4)\big)=19\big(-8 -(-12)\big)=19(4)=76.
Somando:
\det(B)=130 + (-198) + 76 = 130 -198 +76.
Faço as contas em passos:
130 + 76 = 206,\qquad 206 - 198 = 8.
Logo \det(B)=8.]

Passo 5

Como \det(A)=1\cdot\det(B) (porque o elemento (1,1) vale 1 e as operações não alteraram o determinante), concluímos que
\det(A)=8.

Resposta

8

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