Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(8) \left[\begin{array}{ccc}5 & 0 & 9 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix}5 & 0 & 9 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • Elementos da primeira linha: \,a_{11}=5,\\ a_{12}=0,\\ a_{13}=9.
  • Elementos da segunda linha: \,a_{21}=2,\\ a_{22}=-1,\\ a_{23}=3.
  • Elementos da terceira linha: \,a_{31}=1,\\ a_{32}=0,\\ a_{33}=1.
O que se pede: calcular \det(A).]

Passo 2

Vou usar a regra de Sarrus, que é um jeito direto e rápido de calcular determinantes de matrizes 3\times3. A regra de Sarrus diz que, para
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix},
temos
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Explico rápido: somam-se os produtos das três diagonais que “descem para a direita” e subtrai-se a soma dos produtos das três diagonais que “sobem para a direita”. É simples de aplicar quando a matriz é 3\times3.]

Passo 3

Vou identificar os termos nessa fórmula usando os a_{ij} listados:
\begin{aligned} a_{11}a_{22}a_{33} &= 5\cdot(-1)\cdot1,\\[4pt] a_{12}a_{23}a_{31} &= 0\cdot3\cdot1,\\[4pt] a_{13}a_{21}a_{32} &= 9\cdot2\cdot0, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} a_{13}a_{22}a_{31} &= 9\cdot(-1)\cdot1,\\[4pt] a_{11}a_{23}a_{32} &= 5\cdot3\cdot0,\\[4pt] a_{12}a_{21}a_{33} &= 0\cdot2\cdot1. \end{aligned}]

Passo 4

Calculo cada produto e depois faço as somas:
\begin{aligned} \text{soma positiva} &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\[4pt] &= 5\cdot(-1)\cdot1 + 0\cdot3\cdot1 + 9\cdot2\cdot0\\[4pt] &= -5 + 0 + 0 = -5. \end{aligned}
\begin{aligned} \text{soma negativa} &= a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\\[4pt] &= 9\cdot(-1)\cdot1 + 5\cdot3\cdot0 + 0\cdot2\cdot1\\[4pt] &= -9 + 0 + 0 = -9. \end{aligned}
Agora a regra dá
\det(A)=\text{soma positiva} - \text{soma negativa} = (-5) - (-9) = (-5) + 9 = 4.]

Passo 5

Como verificação (útil na prova para ganhar confiança), eu também faço uma checagem por operações elementares de linha, explicando como elas afetam o determinante:
  • Seja R_1 a primeira linha. Faço R_1 \leftarrow R_1 - 5R_3. Isso não altera o determinante (somar múltiplo de uma linha a outra preserva o determinante). As linhas ficam:
R_1'=(0,0,4),\quad R_2=(2,-1,3),\quad R_3=(1,0,1).
A matriz transformada é
\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora expandindo pelo elemento (1,3) (primeira linha, terceira coluna), que é o único não nulo na primeira linha:
\det(A)=4\cdot C_{13},
onde C_{13}=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot(2\cdot0-(-1)\cdot1)=1.
Logo \det(A)=4\cdot1=4, confirmando o resultado anterior.]

Resposta

4

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