A matriz A tem entradas: primeira coluna (2,6,2), segunda coluna (5,-1,3) e terceira coluna (0,0,0).
A pergunta é: calcular \det(A).]
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta simples e muito útil para calcular determinantes: a expansão de Laplace por uma coluna (ou por uma linha). A ideia é que, para qualquer matriz 3\times3, se a coluna j tem entradas a_{1j},a_{2j},a_{3j}, então
\det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j},
onde C_{ij} é o cofator correspondente à entrada a_{ij}. O cofator C_{ij} é definido como
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
e M_{ij} (o menor) é o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j.
Explicando em palavras: para expandir por uma coluna, multiplica-se cada entrada dessa coluna pelo seu cofator e soma-se tudo. Isso é exato e funciona para qualquer coluna (ou linha).
Passo 3
Observação prática para essa matriz: a terceira coluna de A é (0,0,0)^\top. Ou seja,
a_{13}=0,\qquad a_{23}=0,\qquad a_{33}=0.
Isso torna a expansão de Laplace por essa coluna especialmente simples: usando a fórmula do passo anterior com j=3,
\det(A)=a_{13}C_{13}+a_{23}C_{23}+a_{33}C_{33}.
Substituindo os valores (todos zeros) na expressão anterior obtemos
Portanto o determinante é 0. Não é preciso calcular os cofatores, porque todos os coeficientes multiplicadores são zero.
Passo 4
Intuição adicional (útil na prova): se uma matriz tem uma linha inteira ou uma coluna inteira composta por zeros, o determinante é sempre zero. Geometricamente, o determinante mede “volume orientado” do paralelogramo/paralelepípedo formado pelas colunas; se uma coluna é o vetor nulo, o volume é zero. Essa propriedade pode ser demonstrada diretamente pela expansão de Laplace como fizemos.
Passo 5
Resumo prático para a prova: ao ver uma coluna (ou linha) toda zerada, já anota na hora que o determinante é zero — é uma economia de tempo enorme.