Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
Informações dadas:
- É uma matriz quadrada de ordem
. - Os elementos da matriz são exatamente os mostrados acima.
O que se pede: calcular .]
Passo 2
Vamos usar a expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo da 4ª coluna. Vou explicar o que é isso antes de aplicar.
A regra geral: se
é uma matriz
, então a expansão pela coluna
é
onde
é a matriz obtida de
removendo a linha
e a coluna
. O fator
é o sinal do cofactor (alterna sinais).
Escolhi a 4ª coluna porque nela há dois zeros (
e
), o que reduz bastante o trabalho. Aplicando a fórmula para a coluna
obtemos
Substituindo os valores
,
,
,
resulta
Passo 3
Agora calculamos
. A matriz
(removendo linha 1 e coluna 4) é
Para uma matriz
a fórmula do determinante é
Aqui identificamos
,
,
,
,
,
,
,
,
. Calculando passo a passo:
Somando,
Passo 4
Agora calculamos
. A matriz
(removendo linha 4 e coluna 4) é
Usando a mesma fórmula do
com
,
,
,
,
,
,
,
,
, calculamos:
Somando,
Passo 5
Voltando à expressão da Passo 2:
Substituindo os valores encontrados
e
:
Interpretação final rápida: o determinante nulo significa que a matriz é singular (não invertível).