Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
(13) \left[\begin{array}{cccc}4 & 1 & 3 & 2 \\\\ 5 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 3 & 0 \\\\ -1 & 3 & 2 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 5 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 2 & 6 \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • É uma matriz quadrada de ordem 4.
  • Os elementos da matriz são exatamente os mostrados acima.
    O que se pede: calcular \det(A).]

Passo 2

Vamos usar a expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo da 4ª coluna. Vou explicar o que é isso antes de aplicar.
A regra geral: se A=(a_{ij}) é uma matriz n\times n, então a expansão pela coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofactor (alterna sinais).
Escolhi a 4ª coluna porque nela há dois zeros ( a_{24}=0 e a_{34}=0), o que reduz bastante o trabalho. Aplicando a fórmula para a coluna j=4 obtemos
\det(A)=a_{14}(-1)^{1+4}\det(M_{14})+a_{24}(-1)^{2+4}\det(M_{24}) + a_{34}(-1)^{3+4}\det(M_{34})+a_{44}(-1)^{4+4}\det(M_{44}).
Substituindo os valores a_{14}=2, a_{24}=0, a_{34}=0, a_{44}=6 resulta
\det(A)=2(-1)^{5}\det(M_{14})+0+0+6(-1)^{8}\det(M_{44}) =-2\det(M_{14})+6\det(M_{44}).

Passo 3

Agora calculamos \det(M_{14}). A matriz M_{14} (removendo linha 1 e coluna 4) é
M_{14}=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix}
a fórmula do determinante é
\det= a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui identificamos a=5, b=0, c=1, d=2, e=0, f=3, g=-1, h=3, i=2. Calculando passo a passo:
ei-fh = 0\cdot 2 - 3\cdot 3 = -9,
a(ei-fh)=5\cdot(-9)=-45,
-b(di-fg) = -0\cdot(2\cdot2 - 3\cdot(-1))=0,
c(dh-eg)=1\cdot(2\cdot3 - 0\cdot(-1))=6.
Somando,
\det(M_{14})=-45+0+6=-39.]

Passo 4

Agora calculamos \det(M_{44}). A matriz M_{44} (removendo linha 4 e coluna 4) é
M_{44}=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3\\[4pt] 5 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Usando a mesma fórmula do 3\times3 com a=4, b=1, c=3, d=5, e=0, f=1, g=2, h=0, i=3, calculamos:
ei-fh = 0\cdot3 - 1\cdot0 = 0,
a(ei-fh)=4\cdot0 = 0,
-di+fg = 5\cdot3 - 1\cdot2 = 15-2=13 \quad\text{(note o sinal será negativo na fórmula)},áó
-b(di-fg) = -1\cdot(5\cdot3 - 1\cdot2) = -13,
c(dh-eg)=3\cdot(5\cdot0 - 0\cdot2)=0.
Somando,
\det(M_{44})=0-13+0=-13.]

Passo 5

Voltando à expressão da Passo 2:
\det(A)=-2\det(M_{14})+6\det(M_{44}).
Substituindo os valores encontrados \det(M_{14})=-39 e \det(M_{44})=-13:
\det(A)=-2\cdot(-39)+6\cdot(-13)=78-78=0.
Interpretação final rápida: o determinante nulo significa que a matriz é singular (não invertível).

Resposta

\;0

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